Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
x2+y2+z2=12;x+y+z=6⇒3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2=0⇔3(x2+y2+z2)−(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)=0⇔2x2+2y2+2z2−2xy−2xz−2yz=0⇔(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=0(1)x2+y2+z2=12;x+y+z=6⇒3(x2+y2+z2)−(x+y+z)2=0⇔3(x2+y2+z2)−(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz)=0⇔2x2+2y2+2z2−2xy−2xz−2yz=0⇔(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=0(1)
Mà (x−y)2,(y−z)2,(z−x)2≥0,∀x,y,z(x−y)2,(y−z)2,(z−x)2≥0,∀x,y,z
⇒(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0,∀x,y,z⇒(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0,∀x,y,z
→(1)→(1) đúng chỉ khi dấu bằng xảy ra
(x−y)2=(y−z)2=(z−x)2=0⇔x−y=y−z=z−x=0⇔x=y=z(x−y)2=(y−z)2=(z−x)2=0⇔x−y=y−z=z−x=0⇔x=y=z
Mà x+y+z=6x+y+z=6⇒x=y=z=2⇒x=y=z=2\, suy ra A=10
\(\sqrt{x^2+2024}=\sqrt{x^2+xy+yz+zx}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}=\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y^2+2024}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z^2+2024}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2024}{3}\)
\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:
\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
Vậy..................
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?