Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\)
Khi đó:\(\left(\frac{c}{a-b},\frac{a}{b-c},\frac{b}{c-a}\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)\)
Ta có:
\(P\cdot Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\)
Mặt khác:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{c\left(a-b\right)\left(c-a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}=\frac{c\left(c-a-b\right)}{ab}=\frac{2c^2}{ab}\left(1\right)\)
Tương tự:\(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^2}{bc}\left(2\right)\)
\(=\frac{x+y}{z}=\frac{2b^2}{ac}\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) ta có:
\(P\cdot Q=3+\frac{2c^2}{ab}+\frac{2a^2}{bc}+\frac{2b^2}{ac}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Ta có:\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Khi đó:\(P\cdot Q=3+\frac{2}{abc}\cdot3abc=9\)
4) Ta có : A=(a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
=> (a+d)2 - (b+c)2= (a-d)2 - (c-b)2
=> a2+ d2+ 2ad - b2- c2- 2bc=a2 + d2 - 2ad - c2-b2+2bc
Rút gọn ta được: 4ad = 4bc => ad = bc =>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
1) a2+b2+c2+3=2(a+b+c) =>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=> a-1=b-1=c-1=0 => a=b=c=1 =>đpcm
Chứng minh cái này đi: \(\frac{a^3+a^2+a+1}{a^2+a+1}\ge\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}\) ( gợi ý: bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\))
Tương tự với 2 ẩn kia \(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{a^3+a^2+a+1}{a^2+a+1}\ge\frac{8}{27}\Pi\left(a+1\right)\ge\frac{64}{27}\sqrt{abc}\ge\frac{64}{27}\)
dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với ba số \(a,b,c\) và ba số dương \(x,y,z\) bất kỳ với chú ý rằng \(a^2b^2c^2=1\), ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(x=ab;\) \(y=bc;\) và \(z=ca\) thì \(xyz=1\) \(\left(2\right)\) với \(x;\), \(y;\) và \(z\) \(>0\)
Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\), \(y;\) và \(z\), ta được:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\) \(\Leftrightarrow\) \(x+y+z\ge3\) (do \(\left(2\right)\)), tức \(ab+bc+ca\ge3\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\) \(\left(3\right)\) ta suy ra \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
thông điệp nhỏ :
hãy tích nếu như ko muốn tích
ai tích mình tích lại nh nha