\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2018

Lời giải:
Xét hiệu:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

\(=\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a}=-\frac{(b-a)+(c-b)}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a}\)

\(=\frac{b-a}{c}-\frac{b-a}{b}+\frac{c-b}{a}-\frac{c-b}{b}\)

\(=(b-a)(\frac{1}{c}-\frac{1}{b})+(c-b)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\)

\(=\frac{(b-a)(b-c)}{bc}+\frac{(c-b)(b-a)}{ab}=(b-a)(b-c)(\frac{1}{bc}-\frac{1}{ab})\)

\(=\frac{(b-a)(b-c)(a-c)}{abc}\geq 0\) do \(0\leq a\leq b\leq c\)

Do đó:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

18 tháng 7 2018

camonvui

21 tháng 3 2017

Bài 1:a,b,c ba cạnh tam giác => a,b,c dương

\(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a+b>c\\b+c>a\end{matrix}\right.\) ta có: \(\dfrac{x}{y}< \dfrac{x+p}{y+p}\forall_{x,y,p>0\&x< y}\)

\(VT=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}< \dfrac{a+c+c}{a+b+c}+\dfrac{b+b}{a+b+c}=\)

\(=\dfrac{a+b+c+b+c}{a+b+c}< \dfrac{\left(a+b+c\right)+\left(A+b+c\right)}{a+b+c}< \dfrac{2\left(b+a+c\right)}{a+b+c}=2=VP\)

p/s: đề sao làm vậy:

mình nghi đề phải thế này: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\) cách làm đơn giản hơn

22 tháng 3 2017

hướng dẫn bài 2,3 giúp mình với

13 tháng 1 2018

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{1^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1^2}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{a^2b^2c^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2b^2c^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2c^2}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{b^2c^2}{a\left(c+b\right)}+\dfrac{a^2c^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT Svacxo ta có:

\(\dfrac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)}\) \(\dfrac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)}{2}\) (1)

Chứng minh: \(\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\)

\(ab+bc+ca\ge3\) (2)

Từ (1) và (2)

=> ĐPCM

7 tháng 4 2018

Có gì đâu nhỉ?

Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{4,5}{a+b+c}>\dfrac{3}{a+b+c}\)

7 tháng 4 2018

áp dụng BĐT cauchy- schwarz ta có

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{3}{a+b+c}\) (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\ge (1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{4c}{a+b}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{4a}{b+c}; \frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq \frac{4b}{a+c}\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

17 tháng 3 2017

Từ \(a+b+c=1\Rightarrow2a+2a+2c=2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)=2\)

Ta có: \(\dfrac{a+bc}{b+c}=\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)

Tương tự ta viết lại biểu thức cần chứng minh như sau:

\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=b+c\\y=a+c\\z=a+b\end{matrix}\right.\) vậy BĐT cần chứng minh là:

\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\ge2\forall\)\(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z=2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\ge2x\\\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\ge2y\\\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}\ge2z\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế rồi thu gọn ta điều phải chứng minh

17 tháng 3 2017

Note:\(\dfrac{a+ab}{a+b}???\rightarrow\dfrac{c+ab}{a+b}\)

20 tháng 3 2017

Bài 1:

Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:

\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)

dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y

20 tháng 3 2017

Bài 2:

ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)

Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:

\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

......

dấu = xảy ra khi a=b=c

Bài 2:

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:

\(a^2+1\ge2a\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)

thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

30 tháng 3 2018

1.VT= \(\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{y}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)≥ 2\(\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}\)=2; tương tự \(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)≥2; \(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\)≥2.

Cộng 3 BĐT trên, ta được đpcm.

31 tháng 3 2018

2.Đặt b+c-a= x, a+c-b= y, a+b-c= z. Khi đó x,y,z>0.

2a= y+z; 2b= x+z; 2c= x+y. Khi đó bđt cần chứng minh trở thành:

\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}\)≥6.

Theo bài 1 bđt luôn đúng

27 tháng 3 2018

\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+ac< ba+bc\)

\(\Leftrightarrow ac< bc\)

\(\Leftrightarrow a< b\)(đúng)

a)Áp dụng

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)

Lại có:\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+a}+\dfrac{c}{c+a+b}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)=> đpcm

27 tháng 3 2018

\(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow ac< bc\Rightarrow ac+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}< \dfrac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)a) ta có

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a+b+c}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< \dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}< 2\)

18 tháng 12 2017

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)\(\Leftrightarrow a+\dfrac{a^2}{b+c}+b+\dfrac{b^2}{c+a}+c+\dfrac{c^2}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\left(dpcm\right)\)