Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: 0 < a < 1 ; 0 < b < 1 ; 0 < c < 1
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a+1\right)< 0\\b\left(b+1\right)< 0\\c\left(c+1\right)< 0\end{cases}}\)
Cộng vế với vế. Ta được:
\(a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)< 0\)
\(a^2+a+b^2+b+c^2+c< 0\)
\(a^2+b^2+c^2< a+b+c\)
Mà a + b + c = 2
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(đpcm\right)\)
P/s: Không chắc đâu nhé :D
Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )
Tương tự ta có :
\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)
\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)
Cộng vế với vế các BĐT trên có :
\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)
\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a = 1; b =0,5; c = 0,5
1^2+0,5^2+0,5^2=1+0,25+0,25=1,5
Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)
Cần C/m:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
Ta có:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)
=> ĐPCM
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
1) ta có: a(b^2 -1)(c^2 -1)+b(a^2 -1)(c^2 -1)+c(a^2-1)(b^2-1)
=(ab^2 -a)(c^2-1)+(ba^2 -b)(c^2-1)+(ca^2-c)(b^2-1)
đén đây nhân bung ra hết rồi rút gọn và thay a+b+c=abc là đc