Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho số M = 2016+p1.p2...pn(với p1,p2,...,pm là n số đầu tiên n>2012). Hỏi M có phải số chính phương?
Ta có: p1, p2, p3,...pn là n số nguyên tố đầu tiên
=> p1.p2.p3....pn chia hết cho 3 và không chia hết cho 9
Đặt p1.p2...pn =3k, k không chia hết cho 3
=> M=2016+p1.p2.p3...pn=9.224+3k=3(3.224+k)
Giả sử M là số chính phương khi đó M chia hết cho 9
=> 3.224+k chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 ( vô lí vì k ko chia hết cho 3)
Vậy M ko là số chính phương
\(A=p_1^xp_2^y...p_n^z\)
Tổng số lượng các ước số của \(A\)là: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)...\left(z+1\right)\).
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
Tham khao:
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (*)
Ta chứng minh p+1 là số chính phương:
Giả sử phản chứng p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m² (m∈N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k∈N). Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p+1 = 4k² + 4k + 1 => p = 4k² + 4k = 4k(k+1) chia hết cho 4. Mâu thuẫn với (*)
Vậy giả sử phản chứng là sai, tức là p+1 là số chính phương
Ta chứng minh p-1 là số chính phương:
Ta có: p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 => p-1 có dạng 3k+2.
Vì không có số chính phương nào có dạng 3k+2 nên p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương (đpcm)
Làm j mak dài vậy mem.Tôi có cách khác:))
Nhận xét:Một số chính phương khi chia cho 4 thì có các số dư là 0 hoặc 1.
Từ giả thiết suy ra M chia hết cho 2 và 3 nhưng không chia hết cho 4
Như vậy vì M chia hết cho 3 nên M-1 chia 3 dư 2 suy ra M-1 không là số chính phương.
Vì p1; p2 là 2 số nguyên tố lẻ liên tiếp (p1< p2) nên p1 + 2 = p2 (1)
Thay (1) vào biểu thức (p1 + p2) /2 ta có:
(p1 + p2) /2
= (p1 + p1 + 2) /2
= (2p1 + 2) /2
= 2(p1 + 1) /2
= p1 + 1
Vì p1 là số lẻ nên p1 + 1 là số chẵn
Mà chỉ có số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
=> p1 + 1 hay (p1 + p2) /2 là hợp số
< = > Nếu P1 chia 4 dư 1 thì P2 chia 4 dư 3
< = > Nếu P1 chia 4 dư 3 thì P2 chia 4 dư 1
< = > P1 + P2 chia hết cho 4
< => (P1 + P2) / 2 chia hết cho 2
< = > Là hợp số
=> ĐPCM
Vì lẻ + lẻ = chẵn
nên P1 + P2 : 2
mà số nguyên tố lẻ bắt đầu từ 3
mà ( 3 + 5 ) : 2 = 4
Vậy ( P1 + P2 ) : 2 là hợp số