KC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AV
1
10 tháng 1 2020
\(P=16\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+2\left(b-1\right)^2+\left(\frac{3}{a}+12a\right)+\left(\frac{2}{b}+2b\right)+2\left(2a+b\right)-6\ge14\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=\frac{1}{2};b=1\)
VA
1
16 tháng 12 2015
\(S=\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^2}+\frac{3a}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.1}{8.8.a^2}}+\frac{3}{4}.2=\frac{9}{4}\)
Min S = 9/4 khi a =2
22 tháng 10 2015
1,a\(\frac{x}{\sqrt{\left(x-1\right).1}}\ge\frac{x}{\frac{x}{2}}=2\left(dpcm\right)\)
b,tương tự như câu a( đều xài co-sy cả mà)
\(\frac{a^2}{b-1}\ge\frac{a^2}{\frac{b^2}{4}}=\frac{4a^2}{b^2}\)tương tư như vậy, biểu thức sẽ :
\(\ge4\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)\ge4.2=8\)
bằng khi a=b
HP
26 tháng 10 2017
Cauchy-Schwarz cho 2 mẫu quy về M <= (a+b+2)/(a+b)^2
Đến đây CM M <= 1 ,đặt t=a+b(t >= 2) ,.....
22 tháng 4 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
\(4\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le2\Leftrightarrow ab\le4\)
Ta có bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
(Nhân chéo để chứng minh )
Áp dụng :
\(S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{25}{ab}+ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{49}{2ab}+ab\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ab+\frac{16}{ab}+\frac{17}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{ab.\frac{16}{ab}}+\frac{17}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\frac{17}{2.4}=\frac{1}{4}+8+\frac{17}{8}=\frac{83}{8}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
23 tháng 3 2021
\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{10\left(a^2+1\right)}{4a}\)
\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)
Vì \(a>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)a}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{2}=1\left(1\right)\)
Vì \(a>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^2+1\right)\ge9.2a=18a\)
\(\Leftrightarrow\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{18a}{4a}=\frac{9}{2}\left(2\right)\)(vì \(a>0\))
Từ (1) và (2), ta được:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge1+\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow S\ge\frac{11}{2}\)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{a^2+1}=\frac{a^2+1}{4a}\\a^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=1\)(thỏa mãn \(a>0\))
Vậy \(minS=\frac{11}{2}\Leftrightarrow a=1\)
NT
1
KN
25 tháng 10 2020
Ta có : \(\frac{1}{P}=\frac{a}{\sqrt{a-2}}=\frac{a-2+2}{\sqrt{a-2}}=\sqrt{a-2}+\frac{2}{\sqrt{a-2}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(\sqrt{a-2}+\frac{2}{\sqrt{a-2}}\ge2\sqrt{\sqrt{a-2}.\frac{2}{\sqrt{a-2}}}=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{a-2}=\frac{2}{\sqrt{a-2}}\Leftrightarrow a-2=2\Leftrightarrow a=4\)
Vậy maxP =\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)<=> a = 4
K
1
PN
1 tháng 9 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)\ge2\sqrt{\frac{a.4.a.\left(1+b\right)}{\left(1+b\right)9}}=2\sqrt{\frac{4a^2}{3^2}}=\frac{4a}{3}\)
\(\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge2\sqrt{\frac{b.4.b.\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)9}}=2\sqrt{\frac{2^2b^2}{3^2}}=\frac{4b}{3}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{4}{9}.a\left(1+b\right)+\frac{4}{9}.b\left(1+a\right)\ge\frac{4a}{3}+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{4a}{3}-\frac{4}{9}\left(a+ab\right)-\frac{4}{9}\left(b+ab\right)+\frac{4b}{3}\)
\(< =>\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{8a}{9}+\frac{8b}{9}-\frac{4}{9}ab-\frac{4}{9}ab\)
\(< =>S\ge\frac{1}{a+b}+\frac{8}{9}\left(a+b\right)-\frac{8}{9}ab=\left(\frac{1}{a+b}+a+b\right)-\frac{a+b+8ab}{9}\)
\(< =>S\ge2-\frac{a+b+8ab}{9}\)
Do \(4ab\le\left(a+b\right)^2\le1< =>a+b+8ab\le3\)
Khi đó ta được : \(S\ge2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}\).Đẳng thức xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=\frac{5}{3}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Ta sẽ áp dụng Côsi cho 3 số:xa+xa+1/a2
Dự đoán "=" xảy ra <=> a=2 và xa=1/a2
=> x=1/8
khi đó ta có
S= a+1/a2 =(a/8+a/8+1/a2) +6a/8 >= 3 căn bậc 3 của( a/8. a/8. 1/a2) +(6×2)/8=9/4
VậyMinS=9/4 đặt đc khi a=2