QA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 11 2016
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:
\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu = khi a=b=c
b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)
Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Đấu = khí a=b=c
AD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(3a^3+3b^3+3b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{27a^3b^6}+b^3=9ab^2+b^3\ge9ab^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0\)
N
17 tháng 9 2017
\(\sum\dfrac{a}{\left(a^2+1\right)+2b+2}\le\sum\dfrac{a}{2\left(a+b+1\right)}=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 9 2020
\(A=(-\infty;1]\cup[4;+\infty)\)
\(B=\left[-5;5\right]\)
\(A\cap B=\left[-5;1\right]\cup\left[4;5\right]\)
\(A\backslash B=(-\infty;-5)\cup\left(5;+\infty\right)\)
\(A\cup B=\left(-\infty;+\infty\right)\)
13 tháng 4 2020
\(vp=\frac{a\left(1+b\right)+b\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\frac{2ab+a+b}{1+ab+a+b}\)
\(\ge\frac{a+b}{1+ab+a+b}\)
\(\ge\frac{a+b}{1+a+b}\)
20 tháng 3 2020
\(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
PA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(a^3+\dfrac{8}{125}+\dfrac{8}{125}\ge3\sqrt[3]{a^3.\dfrac{8^2}{125^2}}=\dfrac{12}{25}a\)
\(b^3+\dfrac{8}{125}+\dfrac{8}{125}\ge3\sqrt[3]{b^3.\dfrac{8^2}{125^2}}=\dfrac{12}{25}b\)
\(2c^3+2c^3+\dfrac{2}{125}+\dfrac{2}{125}+\dfrac{2}{125}+\dfrac{2}{125}\ge6\sqrt[6]{c^6.\dfrac{2^6}{125^4}}=\dfrac{12}{25}c\)
Cộng vế với vế ta được:
\(a^3+b^3+4c^3+\dfrac{8}{25}\ge\dfrac{12}{25}\left(a+b+c\right)=\dfrac{12}{25}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+4c^3\ge\dfrac{12}{25}-\dfrac{8}{25}=\dfrac{4}{25}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{4}{25}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{2}{5}\\b=\dfrac{2}{5}\\c=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
AV
1
7 tháng 7 2019
với a ,b \(\ge\)0 , áp dụng BĐT CÔSI ta có
a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)
30 tháng 3 2017
a)\(x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4 > x^3 > x^2 > x > 1 \)
\(⇒ 5x^4 > x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 > 5 \)
\(⇒ 5x^4 (x-1) > (x-1)( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 -1 > 5 (x-1) \)
b)\(x^5 + y^5 – x^4y – xy^4 = (x + y)(x^4 – x^3y + x^2y^2 – xy^3 + y^4) – xy(x^3 + y^3) \)
\(= (x + y) [( x^4 – x^3y+ x^2y^2 – xy^3 + y^4) – xy(x^2 – xy + y^2)] \)
\(= (x + y) [(x^4+2x^2y^2+y^4) - 2xy(x^2+y^2)] \)
\(= (x + y) (x - y)^2(x^2 + y^2) ≥ 0 \)
c)\(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2\)
\(= 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \)
\( \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \)
\(\le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(1+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{1.a^3.b^3}=3ab\).