Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
S = \(\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{130}\right)+\left(\frac{1}{111}+...+\frac{1}{120}\right)+\left(\frac{1}{121}+...+\frac{1}{130}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{110.10}+\frac{1}{120.10}+\frac{1}{130.10}=\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}>\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{4}\)
= \(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}>\frac{2}{12}\)
\(\Rightarrow S>\frac{1}{4}\left(1\right)\)
\(S=\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{130}\right)+\left(\frac{1}{102}+\frac{1}{129}\right)+...+\left(\frac{1}{115}+\frac{1}{116}\right)\)( có 15 cặp )
\(=\frac{231}{101.130}+\frac{231}{102.129}+...+\frac{231}{115.116}=231\)
\(\left(\frac{1}{101.130}+\frac{1}{102.129}+...+\frac{1}{115.116}\right)\)
Ta nhận xét tích 101.130 có giá trị nhỏ nhất :
xét : 102.129 = (101+1).(130-1) = 101.129 = 101.130 - 101 + 130 - 1 = 101.130 + 28 > 101.130
Tương tự các cặp cộng lại , ta có : \(\frac{1}{101.130}+\frac{1}{129.102}+...+\frac{1}{115.116}< \frac{1}{101.130.15}\)
\(\Rightarrow S=\frac{231.1}{101.130.15}=\frac{693}{2626}< \frac{91}{330}\)
Từ (1)(2) \(\Rightarrow\)ĐPCM
Giải
\(A=\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+...+\frac{1}{199}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{100}{100}=1\)
Vậy A < 1 (đpcm)
2/
a, Có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2005^2}< \frac{1}{2004.2005}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2004.2005}=B\)
b, \(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2004.2005}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}=1-\frac{1}{2005}< 1\)
3/
Ta có: \(\frac{1}{101}< \frac{1}{100};\frac{1}{102}< \frac{1}{100};...;\frac{1}{200}< \frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\left(100ps\right)=\frac{1}{100}\cdot100=1\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{101}>\frac{1}{200};\frac{1}{102}>\frac{1}{200};...;\frac{1}{200}=\frac{1}{200}\)
\(\Rightarrow A>\frac{1}{200}+\frac{1}{200}+...+\frac{1}{200}\left(100ps\right)=\frac{1}{200}\cdot100=\frac{1}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{2}< A< 1\)