Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
lú rùi vậy cũng sai :(
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{c}{b}.\dfrac{a-c}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a}.\dfrac{b-c}{b}}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT\le\dfrac{\dfrac{c}{b}+\dfrac{a-c}{a}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+\dfrac{b-c}{b}}{2}=1\)
a) Gõ link này nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/1078496.html
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}\right)^2+\left(\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)\le\left(\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)\le ab\)
Thấy: \(c\left(a-c+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac-\left(c^2-cb+c^2\right)\)
\(c< b\Rightarrow ac< ab\)
Do đó: \(ac-\left(c^2-cb+c^2\right)< ab\)
Vậy: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
ta cần cm \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le ab\)
mà theo bunhia \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(c+a-c\right)=ab\)
Đặt \(\sqrt{c.\left(a-c\right)}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\) = A
Ta có A^2 = \(\left(\sqrt{\left(a-c\right).c}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\right)^2\)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có A^2 <= \(\left(\sqrt{a-c}^2+\sqrt{c^2}\right).\left(\sqrt{c^2}+\sqrt{b-c^2}\right)\)
= (a-c+c).(c+b-c) = ab
<=> A<= \(\sqrt{ab}\)=> ĐPCM
Dấu"=" <=> a-c = c và c = b-c
<=> a=b=2c>0
Ta có bất đẳng thức bunhicopxki
\(\sqrt{ax}+\sqrt{by}\le\sqrt{\left(a+x\right)\left(b+y\right)}\)
Áp dụng vào ta có:
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{\left(a-c+c\right)\left(b-c+c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Dấu bằng xảy ra khi a-c = b-c
sửa đề\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)( luôn đúng với \(x,y\ge1\))
Đpcm