Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và \(a=3\Leftrightarrow a=3\)
\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và \(b=3\Leftrightarrow b=3\)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=a^2+b^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{1}{a}+2a\right)+\left(\frac{1}{b}+2b\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge3+2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot2a}+2\sqrt{\frac{1}{b}\cdot2b}-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\ge3+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3+3\sqrt{2}=3\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
a) Giả sử bất đẳng thức trên là đúng \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c), ta có ĐPCM câu b tương tự nha bn!
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
Khi a=b=c
Bài 3:
Áp dụng BĐT C-S dạng ENgel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có ĐPCM
Khi x=y=z
Áp dụng BĐT Svarxơ:
\(\Sigma\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}+\sqrt{5-2\left(a+c\right)}+\sqrt{5-2\left(a+b\right)}}\)\(\frac{3^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}+\sqrt{5-2\left(a+c\right)}+\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}\)
Có: \(\sqrt{5-2\left(b+c\right)}=\sqrt{2\left(1-\left(3-a\right)\right)+3}\)\(=\sqrt{-4+2a+3}=\sqrt{2a-1}\)
CMTT: \(\sqrt{5-2\left(a+c\right)}=\sqrt{2b-1}\);\(\sqrt{5-2\left(a+b\right)}=\sqrt{2c-1}\)
\(\Rightarrow\Sigma\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}\ge\frac{9}{\sqrt{2a-1}+\sqrt{2b-1}+\sqrt{2c-1}}\)\(\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2a-1+2b-1+2c-1\right)}}\)(BDT Bunhiacopxki)\(=\frac{9}{\sqrt{3\left[2\left(a+b+c\right)-3\right]}}=\frac{9}{\sqrt{3\left[6-3\right]}}=\frac{9}{3}=3\)(dpcm)
Autofix: ON
\(VT=a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\)
\(=a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}-1\)
\(\ge4\sqrt[4]{a-b\cdot\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\cdot\frac{b+1}{2}\cdot\frac{b+1}{2}}-1\)
\(\ge4-1=3=VP\)
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn