Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Chevbyshev cho hai bộ đơn điệu cùng chiều \(\left(\dfrac{2}{a+b},\dfrac{2}{b+c},\dfrac{2}{c+a}\right)\) và \(\left(c\left(a+b\right),a\left(b+c\right),b\left(c+a\right)\right)\) ta có \(2c+2a+2b=\dfrac{2}{a+b}.c\left(a+b\right)+\dfrac{2}{b+c}.a\left(b+c\right)+\dfrac{2}{c+a}.b\left(c+a\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\right)\left(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right)=\dfrac{2}{3}\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\right)\).
Mà \(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}=a+b+c\) nên \(ab+bc+ca\le3\).
\(c\left(1+ab\right)\le c\left(1+\dfrac{a^2+b^2}{2}\right)=c\left(1+\dfrac{1-c^2}{2}\right)=1-\dfrac{1}{2}\left(c-1\right)^2\left(c+2\right)\le1\)
\(\Rightarrow c^2\left(1+ab\right)\le c\Rightarrow\dfrac{c}{1+ab}\ge c^2\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(\dfrac{a}{1+bc}\ge a^2\) ; \(\dfrac{b}{1+ac}\ge b^2\)
Cộng vế: \(VT\ge a^2+b^2+c^2=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Cách 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\text{VT}[a(1+bc)+b(1+ac)+c(1+ab)]\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc}\)
Ta sẽ CM:
\(\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow 1+2(ab+bc+ac)\geq a+b+c+3abc\)
Vì $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a,b,c\leq 1$
$\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow 1+ ab+bc+ac\geq a+b+c+abc(1)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2.abc}=3abc\geq 2abc(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 1+2(ab+bc+ac)\geq a+b+c+3abc$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và hoán vị.
do \(a,b,c\ge1\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}b+c\ge2\\c+a\ge2\\a+b\ge2\end{matrix}\right.\)
\(=>\left\{{}\begin{matrix}a\left(b+c\right)\ge2a\\b\left(c+a\right)\ge2b\\c\left(a+b\right)\ge2c\end{matrix}\right.\)
\(=>\) biểu thức đề bài cho\(\ge2\left(a+b+c+\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\)
\(2\left(1+1+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)=9\)
dấu= xảy ra<=>a=b=c=1
\(\dfrac{1}{a^2+a+1}\ge\dfrac{1}{a^2+\dfrac{a^2+1}{2}+1}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge\dfrac{2}{3}\left(3-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT phụ:
\(3\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(2a+b\right)^2\)
P=\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{2a^2+b^2}+\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{3\left(a^2+a^2+b^2\right)}+3}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}P\le\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(2a+b\right)^2}+a+b+c}=\sum\dfrac{a}{3a+2b+c}\)
Xét M=\(\sum\dfrac{a}{3a+2b+c}\)
\(3-3M=\sum\dfrac{2b+c}{3a+2b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(3-3M=\sum\dfrac{\left(2b+c\right)^2}{\left(3a+2b+c\right)\left(2b+c\right)}\ge\)\(\dfrac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{\sum\left(3a+2b+c\right)\left(2b+c\right)}\)
Mà
\(\sum\left(3a+2b+c\right)\left(2b+c\right)=5a^2+5b^2+5c^2+13ab+13bc+13ac=5\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)\le5\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\)\(3-3M\ge\dfrac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{6\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(M\le\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}P\le\dfrac{1}{2}\Rightarrow P\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
BĐT mà ghi thiếu điều kiện thì chết rồi, vì số thực, số dương, số không âm nó hoạt động khác nhau lắm
Bunhiacopxki: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)^4\)
\(\Rightarrow ac+bd\le\left(a^2+b^2\right)^2\)
Do đó:
\(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ac+bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}=1\) (đpcm)
Đề bài sai: phản ví dụ:
\(a=b=-1\) ; \(c=d=2\)
Khi đó: \(c^2+d^2=\left(a^2+b^2\right)^3\) nhưng \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=-1< 1\)