Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Schur bậc 3:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (1-2c)(1-2a)(1-2b)\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\) (thay \(a+b+c=1\) )
\(\Rightarrow abc\geq \frac{4}{9}(ab+bc+ac)-\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac-abc\leq \frac{5}{9}(ab+bc+ac)+\frac{1}{9}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{5}{9}(ab+bc+ac)+\frac{1}{9}\leq \frac{8}{27}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac-abc\leq \frac{8}{27}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $3a=3b=3c=1$
OoO Min min OoO: Em ơi, chị nghĩ đây là cách đơn giản hữu hiệu nhất. Nếu em chưa học Schur thì có thể coi BĐT đó như một "bổ đề" để sử dụng.
Việc chứng minh BĐT Schur đơn giản như sau:
Ta thấy tổng của đôi một các số hạng \(a+b-c, b+c-a, c+a-b\) đều lớn hơn $0$ nên \(a+b-c, b+c-a, c+a-b>0\)
AM-GM:
\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)
\((a+b-c)(c+a-b)\leq \left(\frac{a+b-c+c+a-b}{2}\right)^2=a^2\)
\((b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2\)
Nhân theo vế và rút gọn thu được đpcm.
Lời giải tại link sau:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-duongcmr-dfrac1a2bcdfrac1b2acdfrac1c2abledfracabc2abc.193908584039
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
\(\leq \frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{2abc}=\frac{a+b+c}{2abc}=\text{VP}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Trả lời:
a. Áp dụng BĐT Cô-si: x + y\(\ge\) \(2\sqrt{xy}\) (với x,y\(\ge\)0)
Ta có: a + b\(\ge\)\(2\sqrt{ab}\)
b+c\(\ge\)\(2\sqrt{bc}\)
c+a\(\ge\)\(2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\) (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\)\(8\sqrt{a^2b^2c^2}\)= 8abc (đpcm)
b. Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{ab}\)\(\le\)\(\dfrac{a+b}{2}\) ( với a,b\(\ge\)0)
Ta có: \(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{3a+a+2b}{2}\)=\(\dfrac{4a+2b}{2}\)=2a+b
\(\Rightarrow\) \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)\(\le\)a(2a+b) = 2a2+ab
CMTT: \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\)\(\le\)b(2b+a) = 2b2+ab
\(\rightarrow\)\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\)+\(b\sqrt{3b\left(2b+a\right)}\)\(\le\) 2a2+ab+2b2+ab
= 2(a2+b2)+2ab =6(đpcm)
c. Áp dụng BĐT Cô-si với 3 số a+b; b+c;c+a
Ta có: (a+b)(b+c)(c+a)\(\le\)\(\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\le\) \(\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)3 \(\ge\) \(\dfrac{8}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) a+b+c \(\ge\) \(\dfrac{3}{2}\) (1)
Lại có: (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc
\(\Leftrightarrow\) 1= (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
\(\Leftrightarrow\) ab+bc+ca = \(\dfrac{1+abc}{a+b+c}\) (2)
Theo câu a. (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 8abc
\(\Leftrightarrow\) abc \(\le\)\(\dfrac{1}{8}\) (3)
Từ (1),(3) kết hợp với (2)
\(\Rightarrow\) ab+bc+ca \(\le\) \(\dfrac{1+\dfrac{1}{8}}{\dfrac{3}{2}}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
Ta có
\(\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\)
Áp dụng AM - GM : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}}\)
\(=\sum\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}}=\sum\dfrac{a}{a+a+\sqrt{bc}}\)
Tự làm tiếp
Đề đúng đây nhé
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+bc}\le\dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}\)
Cmtt: \(\dfrac{1}{b^2+ac}\le\dfrac{1}{2b\sqrt{ac}}\)
\(\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{2b\sqrt{ac}}+\dfrac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)
Mà \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\) (C/m sau)
Nên \(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
Chứng minh \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)
\(\text{}\Leftrightarrow\text{}\text{}2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\le2a+2b+2c\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\left(lđ\right)\)
Lời giải:
Vế đầu:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc$
$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc$
$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\geq 9abc-2abc=7abc\geq 0$ do $a,b,c\geq 0$
Vế sau:
Áp dụng BĐT Schur:
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$
$\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1$
$\Rightarrow 2abc\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}$
$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\leq ab+bc+ac-[\frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}]=\frac{ab+bc+ac}{9}+\frac{2}{9}$
$\leq \frac{(a+b+c)^2}{27}+\frac{2}{9}$ (theo BĐT AM-GM)
$=\frac{1}{27}+\frac{2}{9}=\frac{7}{27}$
Ta có đpcm.