Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c-a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c-a\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow bad+bd^2+bca+bcd-dab-dac-db^2-cbd=0\)
\(\Leftrightarrow bca-dca+bd^2-db^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ca-bd\right)=0\)
\(\Rightarrow ca=bd\Rightarrow abcd=bd^2\)
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
Không mất tính tổng quát,
Giả sử a<b
Ta có: ab=bc => c<b
Ta có: bc=cd => c<d
Ta có: cd=de => e<d
Ta có: de=ea => a>e
Ta có: ea=ab => a>b ( trái với giả sử)
Vậy a=b=c=d=e
=> ba=bc=cd=de=ea
e<a
\(a,\frac{-x}{4}+6=8\)\(\Leftrightarrow\frac{x}{-4}=2\Leftrightarrow x=-8\)
b,\(\frac{-4}{x}-7=-5\Leftrightarrow\frac{-4}{x}=2\Leftrightarrow x=-2\)
c,\(12+\frac{-6}{5x}=17\Leftrightarrow-\frac{6}{5x}=5\Leftrightarrow x=-\frac{6}{25}\)
d,\(\frac{3-x}{7}=\frac{x+5}{4}\Leftrightarrow12-4x=7x+35\Leftrightarrow-11x=23\Leftrightarrow x=-\frac{23}{11}\)
e,\(7-2x=-\frac{3}{3x}=-\frac{1}{x}\Leftrightarrow7x-2x^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(x^2+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}\right)+\frac{57}{8}=0\Leftrightarrow\left(x+\frac{7}{4}\right)^2=\frac{57}{16}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{57}}{16}\\x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{16}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{57}-28}{16}\\x=\frac{-\sqrt{57}-28}{16}\end{matrix}\right.\)
a, \(-\frac{x}{4}+6=8\)
=> \(-\frac{x}{4}=8-6=2\)
=> \(x=2.-4=-8\)
Vậy \(x\in\left\{-8\right\}\)
\(b,\frac{4}{-x}-7=-5\)
=> \(\frac{4}{-x}=-5+\left(-7\right)=-12\)
=> \(x=4:12=\frac{1}{3}\)
Vậy \(x\in\left\{\frac{1}{3}\right\}\)
\(c,12+\frac{-6}{5x}=17\)
=> \(-\frac{6}{5x}=17-12=5\)
=> \(5x=-6:5=-\frac{6}{5}\)
=> \(x=-\frac{6}{5}:5=\frac{6}{25}\)
Vậy \(x\in\left\{\frac{6}{25}\right\}\)
\(d,\frac{3-x}{7}=\frac{x+5}{4}\)
=>\(4\left(3-x\right)=7\left(x+5\right)\)
=> \(12-4x=7x+35\)
=> \(-4x-7x=35-12\)
=> \(-11x=23\)
=> \(x=23:\left(-11\right)=-\frac{23}{11}\)
Vậy \(x\in\left\{-\frac{23}{11}\right\}\)
e, \(7-2x=-\frac{3}{3x}\)
=> \(7-2x=-\frac{1}{x}\)
=> \(7=2x+\left(-\frac{1}{x}\right)\)
=> \(7=2x-\frac{1}{x}\)
=> \(7=\frac{2x^2}{x}-\frac{1}{x}\)
=> \(7=\frac{2x^2-1}{x}\)
=> :))
a) Từ giả thiết : \(a^2+2c^2=3b^2+19\Rightarrow a^2+2c^2-3b^2=19\)
Ta có : \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}=\frac{3b^2+18}{15}=\frac{2c^2+6}{12}\)\(=\frac{a^2+7+2c^2+6-3b^2-18}{4+12-15}=\frac{14}{1}=14\)
\(\Rightarrow\)\(a^2=49\Rightarrow a=7\)
\(\Rightarrow\)\(b^2=64\Rightarrow b=8\)
\(\Rightarrow\)\(c^2=81\Rightarrow c=9\)
b) \(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
\(=\left(x^4+2x^2+1\right)+\left(2x^3+2x\right)+x^2=\left(x^2+1\right)^2+2x\left(x^2+1\right)+x^2\)
\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)
Vì \(x^2+x+1=\left(x^2+2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Nên \(P\ge\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=-\frac{1}{2}\)
Để M=a+b+c nhỏ nhất thì a,b,c phải nhỏ nhất
mà a\(\ge\)5 , b\(\ge\)6 , c\(\ge\)7
và a\(^2\)+b\(^2\)+c\(^2\)=125
\(\Rightarrow\)a,b,c lần lượt là 5 ,6,8 (tmđk)
GTNN của M là 19
\(4^{a.b.c.d}=\left(4^a\right)^{bcd}=5^{bcd}=\left(5^b\right)^{cd}=6^{cd}=\left(6^c\right)^d=7^d=8\)
=> \(2^{2abcd}=8=2^3\Rightarrow2abcd=3\Rightarrow abcd=\frac{3}{2}\)
\(TDB:\)
\(4^a=8\Leftrightarrow a=1,5\)
\(5,5^b=8\Rightarrow b=1,219\)
\(6,6^c=8\Rightarrow c=1,101\)
\(7,7^d=8\Rightarrow d=1,018\)
\(\Rightarrow a.b.c.d=1,5\times1,219\times1,101\times1,018=2,049\)