Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.
-Thôi, mình chịu rồi. Mình dùng tất cả các BĐT như Caushy, Schwarz, Caushy 3 số... nhưng không ra.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}=bc+ac+ab\Rightarrow a+b+c>bc+ac+ab\)
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1\)
\(=1-1+a+b+c-ac-bc-ab=a+b+c-\left(ac+bc+ab\right)\)
vì \(a+b+c>bc+ac+ab\)(chứng minh trên)\(\Rightarrow a+b+c-\left(bc+ac+ab\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow bc=-ab-ac\)
\(\dfrac{a^2}{a^2+2bc}=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ac-ab}=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b^2+2ca}=\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\\\dfrac{c^2}{c^2+2ab}=\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\dfrac{c^2}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=1\)
Vì sao bước thứ 2 từ dưới lên lại có thể suy ra (a−b)(b−c)(a−c)/(a−b)(b−c)(a−c)=1?
\(P=\dfrac{a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)}{abc}=\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)+ab\left(a+b\right)}{abc}\)
\(P=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge\dfrac{a^2+b^2}{ab}+2\sqrt{\dfrac{ab}{a^2+b^2}}\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{ab}}=x\ge\sqrt{2}\)
\(P=x^2+\dfrac{2}{x}=\left(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)x^2+\dfrac{x^2}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\)
\(P\ge\left(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right).2+3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{2\sqrt{2}x^2}}=2+\sqrt{2}\)
\(P_{min}=2+\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\Rightarrow a=b\) hay tam giác vuông cân