Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}\)
\(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{a^2+3ac}{a+c}}{\frac{2a^2}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\left(1\right)\)
\(\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{c^2+3ac}{a+c}}{\frac{2c^2}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) có : \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}=\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; c dương , ta có :
\(c^2+a^2\ge2ac\Rightarrow\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=c\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\) \(\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\Rightarrow a=b=c\)
Vậy ...
Kiểm tra lại đề bài nhé.
Với a = 2; b = 2; c = -1 thỏa mãn đề bài : (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2
Nhưng không thỏa mãn đẳng thức cần chứng minh.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{a-b}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{c}\Leftrightarrow\frac{1}{a-b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b-c}-\frac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c+a-b}{\left(a-b\right)c}=\frac{a-b+c}{\left(b-c\right)a}\)(1)
Do \(\frac{a}{c}=\frac{a-b}{b-c}\Leftrightarrow a\left(b-c\right)=\left(a-b\right)c\)nên (1) đúng, đẳng thức được CM