\(\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 10 2017

\(\left(a,b,c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)

\(\Rightarrow A=\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^2}}=\sum\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2+y^2}}=\sum\sqrt{\dfrac{y^2\left(x^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}}\)

ÁP dụng Bunyakovsky:

\(\sum\sqrt{\dfrac{y^2\left(x^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}}\le\sqrt{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\left(\sum\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}\right)}\)

\(=\sqrt{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right).\dfrac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)}}\)

Cần chứng minh \(VT\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\le\dfrac{9}{8}\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2\right)\)

( đúng )

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019

Lời giải:

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM thì:

\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{3})^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 1\)

\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\)

Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\) (BĐT Cauchy)

hay \(\text{VT}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018

Lời giải:

a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).

Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)

Ta có đpcm

b)

Áp dụng kết quả phần a:

\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)

\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)

\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)

.....

\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)

Do đó:

\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)

\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)

29 tháng 9 2017

\(A=\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+a^2}}=\sum\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a.abc}}=\sum\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a\left(a+b+c\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

2 tháng 10 2018

ko biet

14 tháng 7 2017

Ta có BĐT \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\) (đúng)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{3}{2}=VP\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

14 tháng 7 2017

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a ta có:

\(\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\left(a^2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)}\)

\(\ge\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{\sqrt{3}}.3\right)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+\sqrt{3}\right)^2}=\dfrac{a+\sqrt{3}}{2}\left(a>0\right)\)

Tương tự ta cũng có: \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{2b}{b+\sqrt{3}}\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{2c}{c+\sqrt{3}}\)

=> \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)

\(\le2\left(\dfrac{a}{2a+b+c}+\dfrac{b}{2b+a+c}+\dfrac{c}{2c+a+b}\right)\) (1)

Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{x+y}\) ta có:

\(\dfrac{a}{2a+b+c}+\dfrac{b}{2b+a+c}+\dfrac{c}{2c+a+b}\)

\(=\dfrac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)

\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+c}{a+c}+\dfrac{b+a}{a+b}+\dfrac{c+b}{b+c}\right)=\dfrac{3}{4}\) (2)

Từ (1); (2)

=> \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

8 tháng 7 2017

mọi người ơi giải giúp mình một tí đang cần gấp

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2018

Lời giải:
\(a+b+c=abc\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)

\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=bc(a^2+1)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)

\(\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}=\sqrt{\frac{ac}{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c})\)

\(\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c})\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$