TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
22 tháng 12 2021
Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Đặt BT đề cho là P
\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
KN
18 tháng 4 2020
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có: \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{bc}\le\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+c}{2}=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\left(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{bc}\right)\le\sqrt{a}\)hay \(\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{a}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{b}\);\(\sqrt{c^2+abc}+\sqrt{abc}\le\sqrt{c}\)
Mà \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\Rightarrow\sqrt{abc}\le\frac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)=3\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
LD
0
LH
2
TN
1 tháng 6 2017
Đơn giản là Cauchy-Schwarz
\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(1+1+1\right)\)
\(=3\cdot\left(2a+2b+2c\right)=6\left(a+b+c\right)=1\)
\(\Rightarrow S^2\le6\Rightarrow S\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
1 tháng 6 2017
ta dự đoán điểm khi : \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{a+c}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Khi đó ta có :
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{a+b}\le\frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{b+c}\le\frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{c+a}\le\frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}\)
cộng từng vế 3 bất phương trình ta có
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.S\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)\right)=2\) \(\Leftrightarrow S\le2.\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)
Vậy \(S_{max}=\sqrt{6}\)dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2023
\(Q=\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}.\dfrac{2a}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{2b}{a+b}.\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+c}.\dfrac{c}{2\left(b+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2a}{a+c}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c}{a+c}+\dfrac{c}{2\left(b+c\right)}\right)\)
\(=\dfrac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{7}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}}\right)\)
7 tháng 12 2015
\(P=\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-9}}{c}\)
Vì \(a=\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).1}=2\sqrt{a-1}\)
\(b=\left(b-4\right)+4\ge2\sqrt{\left(b-4\right).4}=4\sqrt{b-4}\)
\(c=\left(c-9\right)+9\ge2\sqrt{\left(c-9\right).9}=6\sqrt{c-9}\)
=>\(P\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
P max = 11/12 khi a=2; b=8; c =18
Tham khảo: [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học.
Thay a + b + c = 1 vào là ổn! (Bài 10)