Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\)
ap dung bdt cauchy -schwaz dang engel ta co
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)\(\)
ma \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
dau =xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ba+bc}+\frac{c^4}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)
=> \(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{a^2b}{b^2+1}\ge a-\frac{a^2b}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
tc \(x^2+y^2\ge2xy\left(cauchy\right)\)
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2ab}\ge a-\frac{1}{2}\)(1)
tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{1}{2}\)(2)
\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{1}{2}\)(3)
từ (1)(2)(3)=> \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{3}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(a+b+c=3\right)\)
=> đpcm