Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)
\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)
\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Nhức nhối mãi bài này vì nó làm lag hết máy
Giải
Đặt \(x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}\)
Ta phải chứng minh \(Σ\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\le8\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{2x+1}{x^2+2}\le\dfrac{5}{2}\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{1}{2}\)
Lại theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(Σ\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge\dfrac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x^2+y^2+z^2+6}\)
Ta còn phải chứng minh
\(2\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz-6x-6y-6z+9\right)\)\(\ge x^2+y^2+z^2+6\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4\left(xy+yz+xz\right)-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)
Bây giờ có \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge12\left(xyz\ge8\right)\)
Còn phải chứng minh \(\left(x+y+z\right)^2+24-12\left(x+y+z\right)+12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Bởi vì BĐT là thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa \(a+b+c=3\). Khi đó
\(\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}=\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2+\left(a-1\right)^2}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{3}\left(1+2\cdot\dfrac{4a+3}{2}\right)=\dfrac{4a+4}{3}\)
Tương tự ta cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{\left(2b+c+a\right)^2}{2b^2+\left(a+c\right)^2}\ge\dfrac{4b+4}{3};\dfrac{\left(2c+b+a\right)^2}{2c^2+\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4c+4}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(Σ\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\geΣ\left(4a+4\right)=8\)
BT2: Nhân 2 lên, chuyển vế, biến đổi bla..... sẽ ra đpcm
\(a+b+c=2\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=4\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=4\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc=\dfrac{4-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{4-2}{2}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+b^2=b^2+ab+ac+bc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\\1+c^2=c^2+ab+ac+bc=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\\1+a^2=a^2+ab+ac+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)^2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=a\left(b+c\right)\)
Tương tự ta có: \(b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=b\left(a+c\right)\)
\(c\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}=c\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow A=a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)=2\left(ab+ac+bc\right)=2\)
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
Đặt \(\dfrac{b}{a}=x;\dfrac{c}{b}=y\).
Ta có: \(P=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a+b}{a}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{b+c}{b}\right)^2}+\dfrac{b}{a}.\dfrac{c}{b}.\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)^2}+\dfrac{xy}{4}\).
Ta có bđt quen thuộc: \(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{xy+1}\) (bạn xem cm ở đây).
Do đó \(P\ge\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{xy+1}{4}-\dfrac{1}{4}\ge1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1 tức a = b = c.
Vậy...
BĐT phụ kia có 1 cách chứng minh rất hay mà không cần đến biến đổi tương đương với mũ to:
\(\dfrac{1}{\left(1.1+\sqrt{xy}.\sqrt{\dfrac{x}{y}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1.1+\sqrt{xy}.\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{x}{y}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{y}{x}\right)}=\dfrac{1}{1+xy}\)
Tử, mẫu không đồng bậc
Đề sai hoặc thiếu điều kiện
tử cộng thêm c^2 bớts c^2
tách tử theo mẫu
cô si mẫu