\(\frac{x}{y^2+z^...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
12 tháng 10 2019

\(P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2x\ge3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) ; \(\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)

Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

20 tháng 10 2019

Quy đồng căng thẳng tek:)))

NV
19 tháng 2 2020

\(VT=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

23 tháng 5 2016

 

1) ( x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z Vì (x-y)2 0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2) chứng minh rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quát 3) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m+ n+ p+ q+1( m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi 4) Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh5) Chứng minh rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 6) cho x.y =1 và x>y Chứng minh Giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh7) 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (

Text

30 tháng 11 2019

Từ giả thiết ta có: \(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)

\(\Rightarrow P=x+y+z+\frac{2}{\left(x+y-z\right)^2.z}=x+y+z+\frac{8}{4z\left(x+y-z\right)^2}\)

Am-Gm:\(\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right).4z\le\frac{1}{27}\left(2x+2y+2z\right)^3=\frac{8}{27}\left(x+y+z\right)^3\)

\(\Rightarrow P\ge x+y+z+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\)

\(=\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge4\sqrt[4]{\frac{\left(x+y+z\right)^3.27}{27.\left(x+y+z\right)^3}}=4\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-z=4z\\x+y+z=3\\\left(x+y-z\right)^2=4xy\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=\frac{1}{2}\\x+y=\frac{5}{2}\\xy=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{2};2;\frac{1}{2}\right)\) hoặc \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\). Nhưng vì đề bài cho đối xứng với cả 3 biến nên dấu = xảy ra tại hoán vị của \(\left(2;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Vậy P min =4

30 tháng 11 2019

Ngọc HnueThảo PhươngĐỖ CHÍ DŨNGMinh AnBăng Băng 2k6Vũ Minh Tuấn

16 tháng 8 2017

Giải bài này hơi dài, t ngại làm lắm :v you vào ib t chỉ cho =))

16 tháng 8 2017

ok!

21 tháng 6 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\ge2x^3+2y^3+2z^3=2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

21 tháng 6 2017

c/m 2 vế = nhau đó

9 tháng 8 2019

Xét bất đẳng thức : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng ta có :

\(2\left(y^2+z^2\right)\ge\left(y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\ge y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

Tương tự ta có \(\frac{y^2}{x+z}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}};\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

Cộng theo vế của 3 bđt ta được :

\(A\ge\Sigma\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x^2+y^2}\\b=\sqrt{y^2+z^2}\\c=\sqrt{z^2+x^2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó :

+) \(a+b+c=2017\)

+) \(a^2+b^2-c^2=x^2+y^2+y^2+z^2-z^2-x^2=2y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=y^2\)

\(\)+) \(\sqrt{2\left(z^2+x^2\right)}=\sqrt{2}c\)

Do đó ta có \(A\ge\frac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2c}}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2\sqrt{2}a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}+2c-3c\right)\right]\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(2\left(a+b\right)-3c\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot2017=\frac{2017}{2\sqrt{2}}=\frac{2017\sqrt{2}}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=...\)

16 tháng 8 2019

ghê nhờ:) Mà viết kĩ lại giúp em chỗ:

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+...\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)\right)\).

Em ko hiểu lắm, tại sao lại có dấu = ở đây được nhỉ?