Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
có : \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x+2y\ge x+2\sqrt{xy}+y\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\cdot\sqrt{x+y}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}\ge\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2}}\)
áp dụng vào ta có :
\(\sqrt{\frac{a+b}{c}}=\sqrt{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{b}{c}}\right)\)
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)\)
\(\sqrt{\frac{c+a}{b}}=\sqrt{\frac{c}{b}+\frac{a}{b}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{a}\left(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\sqrt{b}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)+\sqrt{c}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)\right]\)
áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có :
\(VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a}\cdot\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{b}\cdot\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\sqrt{c}\cdot\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\)
có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{2\left(b+c\right)}\\\sqrt{a}+\sqrt{c}\le\sqrt{2\left(a+c\right)}\\\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\end{cases}}\) nên \(\hept{\begin{cases}\frac{4}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\\\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(a+c\right)}}\\\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(a+b\right)}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow vt\ge2\cdot\left(\sqrt{\frac{a}{c+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
sao dòng 9 cs vậy bạn, sao VT lại >=1/ căn 2