Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2)
Xét hiệu:
\(A^2+B^2+C^2+D^2+4-2A-2B-2C-2D\)
\(=\left(A^2-2A+1\right)+\left(B^2-2B+1\right)+\left(C^2-2C+1\right)+\left(D^2-2D+1\right)\)
\(=\left(A-1\right)^2+\left(B-1\right)^2+\left(C-1\right)^2+\left(D-1\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
Vậy \(A^2+B^2+C^2+D^2+4\ge2\left(A+B+C+D\right)\)
1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{BC}{A}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{BC}{A}}=2B\) (1)
\(\dfrac{BC}{A}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{BC}{A}.\dfrac{AC}{B}}=2C\) (2)
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{AC}{B}}=2A\) (3)
Từ (1)(2)(3) cộng vế theo vế:
\(2\left(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\right)\ge2\left(A+B+C\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\ge A+B+C\)
đăng từng câu 1 thôi, nhiều nhất là 3 câu/ 1 lần hỏi vì đâu có giới hạn số lần hỏi
a) Ta có:
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Mình đang bận nên chút về mình làm tiếp nha, sorry 
mk chỉnh sửa lại đề bài chút nhoa
c,\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
\(b^2.\dfrac{\left(1+ab\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\) or \(b^2+\dfrac{\left(1+ab\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)???
Ta có:
a + b + c = 0
<=> (a + b + c)² = 0
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1)
Cần chứng minh:
2(a^4 + b^4 + c^4) = (a² + b² + c²)²
<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a²b² + b²c² + c²a²)
<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2(a²b² + b²c² + c²a²)
<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) )
<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1))
<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²)
<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0
<=> 8abc.(a + b + c) = 0
<=> 0 = 0 (đúng), (Vì a + b + c = 0 )
=> Đpcm
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
Biến đổi từ giả thuyết:
a + b + c = 0
<=> (a + b + c)² = 0
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) (1)
Ta cần chứng minh
\(a^4+b^4+c^4=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\) ( Cộng cả hai vế cho 2(a2b2 + b2c2 + c2a2
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\) ( Do 1 )
\(\Leftrightarrow4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+8\left(ab^2c+bc^2a+a^2bc\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow8\left(ab^2c+bc^2a+a^2bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow8abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\) (đúng), vì a + b + c = 0
=> Đpcm