Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề chơi căng nhỉ?
a) Dễ chứng minh VP =< 3
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{1+a}-1\right)+\left(\frac{b+c}{1+b}-1\right)+\left(\frac{c+a}{1+c}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b-1}{1+a}+\frac{c-1}{1+b}+\frac{a-1}{1+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-1\right)^2}{\left(1+a\right)\left(b-1\right)}+\frac{\left(c-1\right)^2}{\left(1+b\right)\left(c-1\right)}+\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1+c\right)\left(a-1\right)}\) >=0
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel vào VT ta có đpcm.
P/s: Èo, sao đơn giản thế nhỉ? Em có làm sai chỗ nào chăng?
trả lời
dùng bất đẳng thức cosi cho 2 số ko âm
sử dụng cộng mỗi cặp trên
đc 3 cặp
cộng lại là ra
a) Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
b) \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
CMTT như câu a ta đc :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b;\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a;\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Do đó : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
a. Áp dung BĐT AM-GM:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
b. Áp dung BĐT AM-GM:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Xảy ra đẳng thức khi \(a=b=c>0\)
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
a/
Ta có: \(\frac{1}{2}\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right]\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
b/ Áp dụng câu a.
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}+\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
a)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+b^2}{4}\ge0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}}{4}\ge0\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b) Áp dụng Cauchy, ta có:
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=2c\)
Tương tự: \(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh rồi rút gọn ta được đpcm.
\(\text{Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: }\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{acb^2}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\text{tương tự: }\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
\(\text{cộng vế theo vế ta được: }2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
\(\text{BĐT đc c/m}\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\sqrt{b^2}=2b\\\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt{\frac{abc^2}{ab}}=2\sqrt{c^2}=2c\\\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt{\frac{bca^2}{bc}}=2\sqrt{a^2}=2a\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a+2b+2c\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)