Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Bunhiacopxkhi \(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)}\ge a+b+c\)
Ta có:\(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}\le\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\sqrt{3}A=\frac{\sqrt{3a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{3b}\sqrt{b+bc+ba}+\sqrt{3c}\sqrt{c+ca+cb}}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{4a+ab+ac+4b+bc+ba+4c+ca+cb}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}A\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{6+a+b+c}{3}\le\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}\)
Theo e nghĩ là đề phải như này cơ ạ :
\(\frac{a}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a+2b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b+2c}}\le\frac{3}{2}\)
Biến đổi và sử dụng Cô - si là sẽ ra :
Ta có : \(\frac{a}{\sqrt{b+c+2a}}+\frac{b}{\sqrt{c+a+2b}}+\frac{c}{\sqrt{a+b+2c}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(c+b\right)+\left(a+b\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a.a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{b.b}{\left(b+a\right)+\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{c.c}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đề không sai đâu:P
\(VT=\Sigma_{cyc}2\sqrt{\frac{1}{4}.\frac{a}{b+c+2a}}\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\right]\)
\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\frac{a}{4\left(a+b\right)}+\frac{a}{4\left(a+c\right)}\right]=\frac{3}{2}\)
Lời giải:
Sửa đề: \(\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}+\frac{1}{(b+c+\sqrt{2(b+a)})^3}+\frac{1}{(c+a+\sqrt{2(b+c)})^3}\leq \frac{8}{9}\)
--------------------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+\sqrt{2(a+c)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}\)
\(\Rightarrow [a+b+\sqrt{2(a+c)}]^3\geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}\leq \frac{2}{27(a+b)(a+c)}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}(1)\)
Lại theo BĐT AM-GM:
\((a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)(2)\)
Và:
\(16(a+b+c)\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\geq \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq \frac{3}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{6(ab+bc+ac)}\leq \frac{1}{6.\frac{3}{16}}=\frac{8}{9}\) (đpcm)