Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
a) \(\sqrt{a}+1>\sqrt{a+1}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+2\sqrt{a}+1>a+1\)\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{a}>0\)( luôn đúng \(\forall x>0\) )
b) \(a-1< a\)\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{a-1}< \sqrt{a}\)
c) \(\left(\sqrt{6}-1\right)^2=6-2\sqrt{6}+1>3-2\sqrt{3.2}+2=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2\)
do \(\sqrt{6}-1>0;\sqrt{3}-\sqrt{2}>0\) nên \(\sqrt{6}-1>\sqrt{3}-\sqrt{2}\) ( đpcm )
a, \(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng vì a,b>0)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
b, Áp dụng bđt câu a ta có: \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
=>\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng 3 bđt vế theo vế ta được:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
áp dụng bdt cauchy-schwart dạng engel ta có
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}\)\(+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\) =\(\frac{3^2}{3+\sqrt{yx}+\sqrt{xz}+\sqrt{zy}}\)
áp dụng bdt phụ(bn tự cm nhé ^^)
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\le3\)
\(\Rightarrow\frac{3^2}{3+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
dau = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
tham khảo lời giải của Sagittarius912 , do cái URL bị lỗi nên không có ảnh :(
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{c}{1+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
ơ nhầm rồi :( tiếp tục là dòng đó luôn nha bạn \(+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(< =>1+1+1\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(< =>3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)\)
\(< =>\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)^3\left(Q.E.D\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT AM-GM
Ta có: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow1+1+1\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c