Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
\(a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}=\frac{ab}{-2ab}=-\frac{1}{2}\)
tương tự \(\Rightarrow A=\frac{-3}{2}\)
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new
help me! cần gấp lắm ạ!
thanks nhiều!
Cần chứng minh BĐT khác
\(\frac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\frac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\frac{c^3-a^3}{\left(c-a\right)^3}\ge\frac{9}{4}\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{3\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}\ge2\)
Vậy chứng minh BĐT đầu bài quay ra chứng minh BĐT dòng đầu
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}-1+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b-c\right)^2}-1+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}-1\ge-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{4ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{4bc}{\left(b-c\right)^2}+\frac{4ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+\frac{3ca}{\left(a-c\right)^2}\ge-\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3ab}{\left(a-b\right)^2}+1+\frac{3bc}{\left(b-c\right)^2}+1+\frac{3ca}{\left(a-c\right)^2}+1\ge3-\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+ab+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{b^2+bc+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{c^2+ac+c^2}{\left(a-c\right)^2}\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3-b^3}{\left(a-b\right)^3}+\frac{b^3-c^3}{\left(b-c\right)^3}+\frac{c^3-a^3}{\left(a-c\right)^3}\ge\frac{9}{4}\)
BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM
ko pic
mik pic nhưng giải rất dài dòng
ai k mik
mik kb hít lun nha
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:
Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)
Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$
\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)
\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)
theo bài ra ta có: \(c^2+2ab-2bc-2ca=0.\)
\(\Rightarrow2\left(c^2+ab-bc-ca\right)=c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)
Mặt khác: \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{2a^2-2ac+c^2}{2b^2-2bc+c^2}=\frac{2a\left(a-c\right)+2\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2b\left(b-c\right)+2\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(b+a-c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\) => đpcm
Cần cù bù thông minh ( ͡° ͜ʖ ͡°)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a^3+abc}{b^2+c^2}-a+\frac{b^3+abc}{c^2+a^2}-b+\frac{c^3+abc}{a^2+b^2}-c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a^2+bc-b^2-c^2\right)}{b^2+c^2}+\frac{b\left(b^2+ac-c^2-a^2\right)}{c^2+a^2}+\frac{c\left(c^2+ab-a^2-b^2\right)}{a^2+b^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a\left(\left(a-b\right)\left(a+2b-c\right)-\left(c-a\right)\left(a+2c-b\right)\right)}{b^2+c^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\frac{a\left(a+2b-c\right)}{b^2+c^2}-\frac{b\left(b+2a-c\right)}{a^2+c^2}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left((a-b)^2\left(\frac{(a^3+b^3-c^3+3a^2b+3ab^2-a^2c-b^2c-abc+ac^2+bc^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\right)\right)\ge0\)
Tìm GTLN ko phải tìm GTNN
Ta có: \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\) (*)
Lại có: \(\left(a+1\right)^2+b^2+1=a^2+b^2+2a+2\ge2ab+2a+2=2\left(ab+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\) tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)};\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)
Cộng theo vế ta có: \(P\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\) theo (*)
Dấu "=" khi a=b=c=1
Umk !!! giúp liền nàk
\(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)nên
\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)-a^2}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c+a\right)-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{-c\left(a-b\right)-c^2}+\frac{b^2}{-a\left(b-c\right)-a^2}+\frac{c^2}{-b\left(c-a\right)-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{-ac+bc-c^2}+\frac{b^2}{-ab+ac-a^2}+\frac{c^2}{-bc+ab-b^2}\)
\(=\frac{a^2}{-c\left(a+c\right)+bc}+\frac{b^2}{-a\left(a+b\right)+ac}+\frac{c^2}{-b\left(b+c\right)+ab}\)
\(=\frac{a^2}{-c\left(-b\right)+bc}+\frac{b^2}{\left(-a\right)\left(-c\right)+ac}+\frac{c^2}{-b\left(-a\right)+ab}\)
\(=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Mà a + b +c = 0 nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\) (tự chứng minh)
Do đó \(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{3}{2}\)
trả ơn này
Vì a + b + c = 0
\(\Rightarrow\)a2 = b2 + c2 + 2bc \(\Rightarrow\) a2 - b2 - c2 = 2bc
\(\Rightarrow\)b2 = a2 + c2 + 2bc\(\Rightarrow\) b2 - a2 - c2 = 2bc
\(\Rightarrow\) c2 = a2 + c2 +2ab\(\Rightarrow\)c2 - b2 - a2 = 2ab
còn lại tự làm nhé