Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
a: \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2\)
\(=a^3+b^3\)
b: \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)$
$=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
$=\frac{1}{2}(a+b+c).6abc=3abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)$ (đpcm)
Lời giải:
Ta có:
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=3abc\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=3abc\)
Đặt \((a+b+c,ab+bc+ac,abc)=(p,q,r)\)
\(\Rightarrow p^2-3q=3r\)
Khi đó, \(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=p(p^2-3q)+3r=3pr+3r\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc(a+b+c+1)\)
Chắc bạn viết thiếu.
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)=\)\(0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
đến đây bạn tự thay vào tính P nhé P được \(2\) giá trị là \(-1\)hoặc\(8\)
* Đặt tên các biểu thức theo thứ tự là A,B,C,D,E.
Câu a)
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ ta có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\)
\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)-abc]\)
\(=(a+b+c)^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ac)]+3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)]\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\) (*)
Do đó:
\(A=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=a+b+c\)
Câu b)
\(x^3-y^3+z^3+3xyz=x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z\)
Sử dụng kết quả (*) của câu a. Với \(a=x, b=-y, c=z\)
\(\Rightarrow x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z=(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)
Mặt khác xét mẫu số:
\((x+y)^2+(y+z)^2+(x-z)^2=x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2xz+z^2\)
\(=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)
Do đó: \(B=\frac{(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}=\frac{x-y+z}{2}\)
Câu c) Sử dụng kết quả (*) của phần a:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Và mẫu số:
\((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)
Do đó: \(C=\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Câu d)
Xét tử số:
\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)
\(=a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)\)
\(=(b-c)(a^2-b^2)-(b^2-c^2)(a-b)\)
\(=(b-c)(a-b)(a+b)-(b-c)(b+c)(a-b)\)
\(=(a-b)(b-c)[a+b-(b+c)]=(a-b)(b-c)(a-c)\) (1)
Xét mẫu số:
\(a^4(b^2-c^2)+b^4(c^2-a^2)+c^4(a^2-b^2)\)
\(=a^4(b^2-c^2)-b^4[(b^2-c^2)+(a^2-b^2)]+c^4(a^2-b^2)\)
\(=(a^4-b^4)(b^2-c^2)-(b^4-c^4)(a^2-b^2)\)
\(=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(b^2+c^2)(a^2-b^2)\)
\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)[a^2+b^2-(b^2+c^2)]\)
\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2-c^2)\)
\(=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b)(b+c)(c+a)\)(2)
Từ (1)(2) suy ra \(D=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Câu e)
Theo phần d ta có:
\(TS=(a-b)(b-c)(a-c)\)
\(MS=ab^2-ac^2-b^3+bc^2\)
\(=b^2(a-b)-c^2(a-b)=(a-b)(b^2-c^2)=(a-b)(b-c)(b+c)\)
Do đó: \(E=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(b+c)}=\frac{a-c}{b+c}\)
Ta có:
** \(a^3+b^3 +c^3 -3abc \)
\(=(a+b)^3+c^3 - 3ab(a+b) - 3abc \)
\(=(a+b+c)[(a+b)^2 - c(a+b)+ c^2] - 3ab(a+b+c) \)
\(=(a+b+c)(a^2 + 2ab+b^2-ca-bc+c^2) - 3ab(a+b+c) \)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \)
\(=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
** \((a-b)^2 + (b-c)^2+(c- a)^2\)
\(=a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2 - 2(ab+bc+ca)\)
\(=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}=\dfrac{1}{2}\)