Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\geq 2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=2\sqrt{\frac{1}{c^2}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq 2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{b}\)
Cộng các BĐT trên theo vế và rút gọn
\(\Rightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{bc}\cdot\dfrac{b}{ac}}=\dfrac{2}{cc}\)
\(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{bc}{ca\cdot ab}}=\dfrac{2}{a}\)
\(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c\cdot b}}=\dfrac{2}{b}\)
=>a/bc+b/ac+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)
Lời giải:
Ta có:
\(ab+bc+ac=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Xét \(a^4+b^4-(ab^3+a^3b)=(a-b)(a^3-b^3)\)
\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\forall a,b> 0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\geq ab^3+a^3b\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)(a+b)\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)(a+b)}{2ab(a^3+b^3)}=\frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\)
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)
1.
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
Ta có:
\(\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)
Tương tự: \(\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
\(\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)\)
Do \(a;b;c\ge1\) nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:
\(\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa
2.
Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=max\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) (1)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)
Đúng theo (1)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Ta có : \(A=\dfrac{bc}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{ca}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\dfrac{ab}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{bc\left(b-c\right)-ca\left(a-c\right)+ab\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
Đặt \(B=bc\left(b-c\right)-ca\left(a-c\right)+ab\left(a-b\right)\)
\(=b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2\)
\(=a\left(c^2-b^2\right)-b\left[\left(c^2-b^2\right)+\left(b^2-a^2\right)\right]+c\cdot\left(b^2-a^2\right)\)
\(=\left(c-b\right)\left(c+b\right)\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(c-b\right)\)
\(=\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(c-a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=1\)
Vậy A=1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)
Cộng theo vế và rút gọn
\(\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$