HA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NN
0
HQ
1
N
16 tháng 8 2019
Thay \(c=2-\left(a+b\right)\Leftrightarrow P=2ab+c\left(a+b\right)=2ab+\left(a+b\right)\left[2-\left(a+b\right)\right]\)
\(=2ab+2\left(a+b\right)-a^2-b^2-2ab=2\left(a+b\right)-a^2-b^2=2-\left(a-1\right)^2-\left(b-1\right)^2\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2\\\left(b-1\right)^2\end{cases}\ge0\forall a,b\inℝ\Rightarrow P=2-\left(a-1\right)^2-\left(b-1\right)^2\le2}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=1\rightarrow c=0\)
DT
27 tháng 4 2019
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.64\Rightarrow\left(a+b+c\right)\le8\sqrt{3}\)
Lại có \(\left(ab+bc+ac\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=64\)
Khi đó \(P=ab+bc+ca+a+b+c\le64+8\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+b^2+c^2=64\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 4 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
$b^2+c^2\geq 2bc$
$c^2+a^2\geq 2ac$
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=27$
Vậy GTLN của $P$ là $27$
Lời giải:
Thay \(c=2-(a+b)\)
\(\Rightarrow P=2ab+c(a+b)=2ab+(a+b)[2-(a+b)]\)
\(\Leftrightarrow P=2ab+2(a+b)-a^2-b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow P=2(a+b)-a^2-b^2=2-(a-1)^2-(b-1)^2\)
Vì \((a-1)^2,(b-1)^2\geq 0\forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow P=2-(a-1)^2-(b-1)^2\leq 2\)
Vậy \(P_{\max}=2\Leftrightarrow a=b=1\rightarrow c=0\)