Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2-ab+b^2=a+b\)
<=> \(a^2-a\left(b+1\right)+b^2-b=0\)
<=> \(a^2-2a.\frac{b+1}{2}+\left(\frac{b+1}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}-\frac{b}{2}-\frac{1}{4}+b^2-b=0\)
<=> \(\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2=1\)
Ta có: \(\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2=\frac{\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2}{1}+\frac{\left(\frac{3}{2}b-\frac{3}{2}\right)^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left(a+b-2\right)^2}{4}\)
=> \(1\ge\frac{\left(a+b-2\right)^2}{4}\)
<=> \(\left(a+b-2\right)^2\le4\)
<=> \(-2\le a+b-2\le2\)
<=> \(0\le a+b\le4\)
mà \(P=505a+505b=505\left(a+b\right)\)
=> \(0\le P\le2020\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a-\frac{b+1}{2}}{1}=\frac{\frac{3}{2}b-\frac{3}{2}}{3}\)<=> a = b
Nếu P = 0 khi đó: a + b = 0 <=> a = b = 0
Nếu P = 2020 <=> a + b = 4 <=> a = b = 2
Vậy: GTNN của P = 0 đạt tại a = b = 0
GTLN của P= 2020 đạt tại a = b = 2
\(a^2-ab+b^2=a+b\Rightarrow\left(a-b\right)^2=a+b-ab\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)\ge ab\Rightarrow2\left(a+b\right)\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a+b\right)+a^2+b^2=2\left(a+b\right)+a+b+ab\le4\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow0\le a+b\le4\Leftrightarrow0\le P\le2020\)\(D=xr\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=0\\a=b=2\end{cases}}\)
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Tìm min:
Theo BĐT AM-GM thì: P=a2+b2+c2≥ab+bc+acP=a2+b2+c2≥ab+bc+ac hay P≥9P≥9
Vậy Pmin=9Pmin=9. Giá trị này đạt tại a=b=c=√3a=b=c=3
-----------
Tìm max:
P=a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2−18P=a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2−18
Vì a,b,c≥1a,b,c≥1 nên:
(a−1)(b−1)≥0⇔ab+1≥a+b(a−1)(b−1)≥0⇔ab+1≥a+b
Hoàn toàn tương tự: bc+1≥b+c;ac+1≥a+cbc+1≥b+c;ac+1≥a+c
Cộng lại: 2(a+b+c)≤ab+bc+ac+3=122(a+b+c)≤ab+bc+ac+3=12
⇒a+b+c≤6⇒a+b+c≤6
⇒P=(a+b+c)2−18≤62−18=18⇒P=(a+b+c)2−18≤62−18=18
Vậy Pmax=18Pmax=18. Giá trị này đạt tại (a,b,c)=(1,1,4)(a,b,c)=(1,1,4) và hoán vị
đặt \(t=ab+bc+ca\)
\(=>t=ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
mặt khác
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=>a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\)
khi đó
\(P=\frac{9-2t}{t}\)(zới t nhỏ hơn hoặc = 3)
xét \(f\left(t\right)=\frac{9-2t}{t}\left(t\le3\right)\)
\(f'\left(t\right)=-\frac{9}{t^2}< 0\)
=> f(t) N Biến \(\left(-\infty,3\right)\)
min f(t)=f(3)=1
koo tồn tại max\(f\left(t\right)\)
zậy minP=1 khi a=b=c=1
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
\(a+b=\left(a+b\right)^2-3ab\ge\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4\left(a+b\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-4\right)\le0\)
\(\Rightarrow0\le a+b\le4\)
\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(a=b=0\)
\(P_{max}=505.4=2020\) khi \(a=b=2\)