Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(b^3+c^3\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\ge\left(b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow b^3+c^3\ge\dfrac{\left(b+c\right)^3}{4}\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}\le\dfrac{a\sqrt[3]{4}}{b+c}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\le\sqrt[3]{4}\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)< \sqrt[3]{4}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}\right)=2\sqrt[3]{4}\)
a;b;c là 3 cạnh của tam giác => a; b; c dương
Với a; b dương ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => a + b \(\ge\) 2. \(\sqrt{ab}\)
Tương tự, b + c \(\ge\) 2.\(\sqrt{bc}\); c + a \(\ge\)2. \(\sqrt{ca}\)
=> (a + b).(b+c).(c+a) \(\ge\)8. \(\sqrt{ab}\).\(\sqrt{bc}\).\(\sqrt{ca}\) = 8.abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
=> tam giác có 3 cạnh là a; b; c là tam giác đều
Ta có: \(abc=b+2c\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{b+2c}{bc}\)\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}\)
Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
Ta có: \(\dfrac{3}{b+c-a}+\dfrac{4}{c+a-b}+\dfrac{5}{a+b-c}\)
\(=\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}+2\left(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)\ge\dfrac{4}{b+c-a+c+a-b}+2.\dfrac{4}{b+c-a+a+b-c}+3.\dfrac{4}{c+a-b+a+b-c}=\dfrac{4}{2c}+2.\dfrac{4}{2b}+3.\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{c}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{6}{a}=2\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{a}\right)=2\left(a+\dfrac{3}{a}\right)\ge2.2\sqrt{\dfrac{a.3}{a}}=4\sqrt{3}\)
(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương)
\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c-ta}}=\dfrac{a\sqrt{t+1}}{\sqrt{\left(at+a\right)\left(b+c-ta\right)}}\ge\dfrac{2a\sqrt{t+1}}{at+a+b+c-ta}=\dfrac{2a\sqrt{t+1}}{a+b+c}\)
Làm tương tự, cộng lại và rút gọn
Đặt b + c - a = x; c + a - b = y; a + b - c = z. (x, y, z > 0)
Ta có \(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{2\left(z+x\right)}{y}+\dfrac{9\left(x+y\right)}{2z}=\left(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z}\right)+\left(\dfrac{9y}{2z}+\dfrac{2z}{y}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{y}{2x}.\dfrac{2x}{y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{2x}.\dfrac{9x}{2z}}+2\sqrt{\dfrac{9y}{2z}.\dfrac{2z}{y}}=2+3+6=11\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(3y=2z=6x\Leftrightarrow3\left(c+a-b\right)=2\left(b+c-a\right)=6\left(a+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{6};b=\dfrac{2}{3};c=\dfrac{1}{2}\).
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\) Tam giác là tam giác đều
bạn trình bày rõ bđt 1/x + 1/y >_ 4/x+y dc ko vì mình ko hiểu lắm
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}=\sum \frac{c^{4024}}{ac^{2011}+bc^{2011}-c^{2012}}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}}\)
Ta sẽ CM:
\(a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}\leq \sum a^{2012}\)
\(\Leftrightarrow a^{2011}(a-b)+a^{2011}(a-c)+b^{2011}(b-a)+b^{2011}(b-c)+c^{2011}(c-a)+c^{2011}(c-b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \sum (a-b)(a^{2011}-b^{2011})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a^{2010}+...+b^{2010})\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó: \(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{\sum a^{2012}}=\sum a^{2012}\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$. Tức là $ABC$ là tam giác đều.
Akai Haruma Giáo viên cho em hỏi kí hiệu \(\sum\) là gì ạ và kí hiệu này được học ở lớp mấy ạ?