Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(\left(a-b\right)^2>=0\) => \(a^2+b^2>=2ab\)
tương tự ta có \(b^2+c^2>=2bc\)
\(c^2+a^2>=2ac\)
cộng từng vế của 3 BĐt cùng chiều ta có \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)>=2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca\)
dấu = xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)
<=> a=b=c
<=> tam giác ABC là tam giác đều(ĐPCM)
Từ giả thiết suy ra
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0 (nhân bung cái này sẽ ra cái giả thiết ban đầu).
Từ đó suy ra: a=b, b=c và c=a. (Do tổng của 3 bình phương mà lại bằng 0 tức là các bình phương đó đều phải bằng 0). Suy ra tam giác đó đều
Cách của bạn phía trên sai. Bạn đang chứng minh chiều nghịch của bài toán
thực hiện trừ 2 vế ta (vế trái cho vế phải) ta được
(a+b+c).(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0
nên hoặc a+b+c=0 hoặc nhân tử còn lại bằng 0
mà a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên a+b+c>0
vậy a^2+b^2+c^2 -ab-bc-bc-ca=0
đặt đa thức đó bằng A
A=0 nên 2xA=0
phân tích thành hằng đẳng thức ta có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
nên a=b=c vậy là tam giác đều
Lời giải:
$a^3+b^3+c^3=3abc$
$\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$
$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0$
Hiển nhiên $a+b+c>0$ với mọi $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Do mỗi số $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$.
$\Rightarrow$ để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$
$\Rightarrow a=b=c$
$\Rightarrow ABC$ là tam giác đều.
=> 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2 ( ab + bc +ca)
=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac
=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc+ c^2 + c^2 - 2ac + a^2 = 0
=> ( a- b)^2 + ( b- c)^2 + ( c -a )^2 = 0
Vì ( a- b)^2>=0 (1)
( b - c)^2 >= 0 (2)
( c -a )^2 >= 0 (3)
Từ (1)(2) và (3) => ( a- b)^2 + ( b- c)^2 + ( c -a )^2 = 0 khi
a - b = 0 và b - c = 0 và c - a = 0
=> a = b và b = c và c = a
=> a= b =c
VẬy là tam giác đều ĐÁp ấn C
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca=>2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+ac+ca)
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0.
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+c^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0. => (a-b)^2=0 => a-b=0 => a=b
(b-c)^2=0 => b-c=0 => b=c
(c-a)^2=0 => c-a=0 =>c=a. Vậy a=b=c. Do đó tam giác đó là tam giác đều => C là đáp án đúng
Ta có; \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy...
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 4 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + £sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ³ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ³ 72547. 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ³ 2464137. 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ³ 2. 7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: + ³2 2 1a b2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷è ø33 3a b a b2 2 (*) (*) Û + +æ ö- ³ç ÷è ø33 3a b a b02 2 Û ( )( )+ - ³23a b a b 08. ĐPCM. 2. Chứng minh: + +£ 2 2a b a b2 2 («) ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. ÷ a + b > 0 , («) Û + + +- £2 2 2 2a b 2ab a b04 2 Û ( )- ³2a b04 , đúng. Vậy: + +£ 2 2a b a b2 2. 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 33a b a b2 2 Û ( )+ +£3 3 3a b a b8 2 Û ( )( )- - £2 23 b a a b 0 Û ( ) ( )- - + £23 b a a b 0, ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a ba bb a («) («) Û + ³ +a a b b a b b a Û ( ) ( )- - - ³a b a a b b 0 Û ( )( )- - ³a b a b 0 Û ( ) ( )- + ³2a b a b 0, ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³++ +2 21 1 21 ab1 a 1 b («) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +æ ö³ ç ÷è ø33 3a b a b2 2 2. Chứng minh: + +£ 2 2a b a b2 2 3. Cho a + b ³ 0 chứng minh: + +³ 3 33a b a b2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ +a ba bb a 5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³++ +2 21 1 21 ab1 a 1 b 6. Chứng minh: ( )+ + + ³ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c Î R 7. Chứng minh: ( )+ + + + ³ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: + + ³ + +2 2 2x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + +³ ³a b c ab bc ca; a,b,c 03 3 b. Chứng minh: + + + +æ ö³ ç ÷è ø22 2 2a b c a b c3 3 10. Chứng minh: + + ³ - +22 2ab c ab ac 2bc4 11. Chứng minh: + + ³ + +2 2a b 1 ab a b 12. Chứng minh: + + ³ - +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: + + + ³ - + +4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: + ³3 3 1a b4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca £ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
dễ mà bạn . áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số không âm ta có:
a^3+b^3+c^3>=3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)=>a^3+b^3+c^3>=3abc.
dấu bằng xảy ra khi a=b=c. vậy nếu a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c hay tam giac ABC là tam giác đều!!!!!!
a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2
b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2
a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2
chuyển qua là được
sai đề