Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
=> \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)(bđt)
=>\(\frac{a}{b}\)\(< \frac{a+m}{b+m}\)\(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
=> \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
làm tương tự 2 cái còn lại
cộng vế đẳng thức trên ta đc :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \)\(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
=> đpcm
Vì a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có : \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{cases}}\) (BĐT tam giác)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\) (1)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}>\frac{2b}{a+b+c}\) (2)
\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\) (3)
Cộng các vế tương ứng của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (ĐPCM)
ADTCDTSBN:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
vi \(\frac{1}{2}\)<2=>\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2\)
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có:
a>0 \(\Rightarrow\)a<b+c \(\Rightarrow\)a+a<a+b+c\(\Rightarrow\)2a<a+b+c (1)
b>0 \(\Rightarrow\)b<c+a \(\Rightarrow\)b+b<a+b+c\(\Rightarrow\)2b<a+b+c (2)
c>0 \(\Rightarrow\)c<a+b \(\Rightarrow\)c+c<a+b+c\(\Rightarrow\)2c<a+b+c (3)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
\(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{c+a}\)\(\frac{c}{a+b}\)
=\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
=\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Vì hai p/s nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2(lên lớp 8 sẽ có công thức)
nên nó phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2
1)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\Leftrightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Rightarrow ac-ad=ac-bc\Leftrightarrow a\left(c-d\right)=c\left(a-b\right)\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
2) Gọi độ dài các cạnh của tam giác đó là a,b,c thì a : b : c = 3 : 4 : 5 ; a + b + c = 36
\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{36}{12}=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3.3=9\\b=3.4=12\\c=3.5=15\end{cases}}\).Vậy tam giác đó có 3 cạnh là 9 cm ; 12 cm ; 15 cm
3)\(\hept{\begin{cases}a:b:c:d=3:4:5:6\\a+b+c+d=3,6\end{cases}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{d}{6}=\frac{a+b+c+d}{3+4+5+6}=\frac{3,6}{18}=0,2}\)
=> a = 0,2.3 = 0,6 ; b = 0,2.4 = 0,8 ; c = 0,2.5 = 1 ; d = 0,2.6 = 1,2
4)\(\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\Rightarrow\frac{x}{3}:5=\frac{y}{2}:5\Leftrightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{10}\)
\(\frac{y}{5}=\frac{z}{7}\Rightarrow\frac{y}{5}:2=\frac{z}{7}:2\Leftrightarrow\frac{y}{10}=\frac{z}{14}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{14}=\frac{x+y+z}{15+10+14}=\frac{184}{39}=4\frac{28}{39}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\frac{28}{39}.15=70\frac{10}{13}\\y=4\frac{28}{39}.10=47\frac{7}{39}\\z=4\frac{28}{39}.14=66\frac{2}{39}\end{cases}}\)
Bài 1 :
Vì \(a,b,c\)là độ dài các cạnh của tam giác (gt)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c< a+b\\a< b+c\\b< c+a\end{cases}}\) ( theo bất đẳng thức trong tam giác )
Ta có công thức : \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right)\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng theo vế (1) , (2) và (3) ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\left(đpcm\right)\)
Bài 2 , để chiều nhé bạn
Bài 3 :
Cách 1 :
\(\left|x-1004\right|-\left|x+1003\right|\)
+ ) Xét \(x< -1003\)suy ra
\(\hept{\begin{cases}x+1003< 0\Rightarrow\left|x+1003\right|=-\left(x+1003\right)=-x-1003\\x-1004< 0\Rightarrow\left|x-1004\right|=-\left(x-1004\right)=-x+1004\end{cases}}\)
Khi đó : \(A=\left(-x+1004\right)-\left(-x-1003\right)=2007\)
+ ) Xét \(-1003\le x< 1004\). Suy ra
\(\hept{\begin{cases}x\ge1003\Rightarrow x+1003\ge0\Rightarrow\left|x+1003\right|=x+1003\\x< 1004\Rightarrow x-1004< 0\Rightarrow\left|x-1004\right|=-\left(x-1004\right)=-x+1004\end{cases}}\)
Khi đó : \(A=\left(-x+1004\right)-\left(x+1003\right)=1-2x\)
+ ) Xét \(x\ge1004\). Suy ra
\(\hept{\begin{cases}x-1004\ge0\Rightarrow\left|x-1004\right|=x-1004\\x+1003\ge0\Rightarrow\left|x+1003\right|=x+1003\end{cases}}\)
Khi đó : \(A=\left(x-1004\right)-\left(x+1003\right)=-2007\)
Ta thấy với \(x< -1003\)thì A đạt giá trị lớn nhất là 2007
Vậy \(A_{max}=2007\)khi \(x< -1003\)
Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a, b, c >0 và a <b+c ; b< c+a, c < a+b
Dùng bđt với x, y > 0 ; x< y( tức x/y < 1) ta có x /y < x +m < y+m :
ta có a>0 ; b+c>0 và a < b+c => a/ b+c < a +a/a+b+c = 2a/a+b+c
tương tự b/c+a < 2b/a+b+c ; c/a+b <2c/a+b+c
Cộng từng vế 3 bđt trên sẽ ra bn nhé.