Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0 vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Ta có: \(x+y=b+c-a+c+a-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(VT=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2+2+2=6\) (áp dụng BĐT m/n+n/m >= 2)
\(\Leftrightarrow VT\ge3=VP\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c
P/s: đây là phương pháp đặt ẩn nhé
Đặt \(b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z\)(\(x,y,z>0\)vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Ta có: \(x+y=b+c-a+c+a-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(VT=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2+2+2=6\)
(áp dụng BĐT \(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}>=2\))
\(\Leftrightarrow VT\ge3=VP\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
P/c: Đây là phương pháp đặt ẩn nhé !
1. đặt b + c - a = x, a + c - b = y , a + b - c = z thì x,y,z > 0
theo bất đẳng thức ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) \(\ge\)8xyz ( tự chứng minh ) , ta có :
2a . 2b . 2c \(\ge\)8 ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )
\(\Rightarrow\)abc \(\ge\)( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
Ta có a + b > c, b + c > a, a + c > b
Xét \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c+b}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
tương tự : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c}\)
vậy ...
** Lần sau bạn lưu ý viết đề bằng công thức toán (hộp công thức nằm ở nút biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo)
Lời giải:
a) Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
$c< a+b\Rightarrow c^2< c(a+b)$
$b< a+c\Rightarrow b^2< b(a+c)$
$a<b+c\Rightarrow a^2< a(b+c)$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< c(a+b)+b(a+c)+a(b+c)$
hay $a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$ (đpcm)
b)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$\text{VT}[a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)]\geq (a+b+c)^2$
$\text{VT}[2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)]\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(*)$
Mà theo BĐT Cô-si:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Do đó:
$2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)$
$\leq (a+b+c)^2-2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)^2}{3}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Lời giải khác của câu b
Đặt $b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z$. Theo BĐT tam giác thì $x,y,z>0$
$\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}; a=\frac{y+z}{2}; b=\frac{x+z}{2}$
Bài toán trở thành:
Cho $x,y,z>0$. CMR $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$
Thật vậy:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{8xyz}}=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
Xin lỗi nhé, nãy đang vội thấy 3 p/s nghĩ luôn ra mà ko kịp soát
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\)
\(\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+a+c-b}=\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
đặt: x = b + c - a > 0
y = a + c - b > 0
z = a + b - c > 0
\(\Rightarrow a=\frac{\left(y+z\right)}{2}\)
\(b=\frac{\left(x+z\right)}{2}\)
\(c=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)
\(A=\frac{a}{\left(b+c-a\right)}+\frac{b}{\left(a+c-b\right)}+\frac{c}{\left(a+b-c\right)}\)
\(A=\frac{\left(y+z\right)}{\left(2x\right)}+\frac{\left(x+z\right)}{\left(2y\right)}+\frac{\left(x+y\right)}{\left(2z\right)}\)
\(A=\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)
áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng các BĐT trên, ta được:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.3=6\)(đpcm).
Vì sao a=\(\frac{y+z}{2}\)