Question

[le ha trang]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: ab+bc+ca=abc và a+b+c=1.

CMR ít nhất  một trong các số a,b,c phải bằng 1.

Gợi ý: Xét P=(a-1)(b-1)(c-1).

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Từ giả thiết ta suy ra \(\hept{\begin{cases}abc-ab-bc-ac=0\\a+b+c-1=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(abc-ab-bc-ac\right)+\left(a+b+c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)-\left(ac-a\right)-\left(bc-b\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Ít nhất một trong các số a;b;c phải bằng 1 (đpcm)