Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình hướng dẫn thôi được không chứ mình đá bóng bị ngã nên giờ bấm giải chi tiết không nổi
thôi mình sẽ giải chi tiết luôn nhé chứ hướng dẫn khó hiểu lắm
Đặt đẳng thức là A. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\sqrt{2b\left(a-b\right)}\le\frac{2b+\left(a+b\right)}{2}=\frac{a+3b}{2}\)
Từ đó: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\)
Ta sẽ chứng minh: \(M=\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Thật vậy, ta có: \(M=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)
Theo BĐT AM-GM ta có:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT cauchy ta được:
\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Vì vậy: \(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Từ đó ta có: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\ge2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Vậy đẳng thức xảy xa khi và chỉ khi a=b=c
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
ơ đang chờ mấy bạn top bxh vô trả lời mà hỏng thấy đou
hộ mình với:(
Dễ chứng minh được \(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\) và tương tự....
Đặt \(\left(\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì ta có:
\(\hept{\begin{cases}x,y,z\ge0\\x+y+z=3\sqrt{2}\\VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x^2+z^2-y^2}{2y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2z}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2x}\right)\end{cases}}\)
Mà \(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x^2+z^2-y^2}{2y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2z}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2x}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x^2}{2y}+\frac{x^2}{2z}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}-\frac{x+y+z}{2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}-\frac{x+y+z}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{2}\right)=\frac{x+y+z}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\)
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) thì cần c/m
\(\sqrt{\frac{a}{3-a}}+\sqrt{\frac{b}{3-b}}+\sqrt{\frac{c}{3-c}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\sqrt{\frac{a}{3-a}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\frac{3\left(a-1\right)^2\left(3a-1\right)}{32\left(3-a\right)}}{\sqrt{\frac{a}{3-a}}+\frac{3\sqrt{2}}{8}a+\frac{\sqrt{2}}{8}}\ge0\forall0< a< 3\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\sqrt{\frac{b}{3-b}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}b+\frac{\sqrt{2}}{8};\sqrt{\frac{c}{3-c}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}c+\frac{\sqrt{2}}{8}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{3\sqrt{2}}{8}\left(a+b+c\right)+\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot3=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Vì sao a + b + c = 3 vậy bạn?