K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 7 2020

biến đổi tương đương thôi , EZ !

\(BĐT< =>\frac{a\left(c+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(< =>\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(< =>\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{ab+bc+ca+a+b+c+1+abc}\ge\frac{3}{4}\)

\(< =>4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+6\)

\(< =>ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)

Theo đánh giá của Bất đẳng thức Cauchy thì :

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abbcca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Vậy Bất đẳng thức được hoàn tất chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

31 tháng 5 2017

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

Mà \(\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=0\)

Ta lại có:

\(\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=\frac{\left(a^6+b^6+c^6-3a^2b^2c^2\right)+3a^2b^2c^2}{\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+3abc}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\right)+3a^2b^2c^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}\)

\(=\frac{3a^2b^2c^2}{3abc}=abc\)

22 tháng 10 2019

Vì abc=1 nên có: \(a^3+b^3+c^3+3=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+3=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\)

\(\ge\frac{4a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{4c^2}{\left(a+b\right)^2}+3\)(1)

Đặt: \(\frac{a}{b+c}=X;\frac{b}{c+a}=Y;\frac{c}{a+b}=Z\)

Ta có: \(4X^2+4Y^2+4Z^2+3-4X-4Y-4Z=\left(2X-1\right)^2+\left(2Y-1\right)^2+\left(2Z-1\right)^2\ge0\)

=> \(4Z^2+4Y^2+4Z^2+3\ge4X+4Y+4Z=4\left(X+Y+Z\right)\)

=> \(\frac{4a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{4c^2}{\left(a+b\right)^2}+3\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

=> \(a^3+b^3+c^3+3\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

"=" xảy ra <=> a =b =c =1.\(\)

NV
31 tháng 8 2021

Em kiểm tra lại mẫu số của biểu thức c, chắc chắn đề sai

1 tháng 9 2021

là c\(^4\) ạ

 

15 tháng 11 2017

ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}.\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}\)    (vì abc=1)     (*)

Mặt khác: \(\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2\ge64abc=64=4^3\)   (vì abc=1)

=> \(\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}\ge4\)   (**)

Từ (*), (**)=> đpcm

12 tháng 2 2020

Bạn dưới kia làm ngược dấu thì phải,mà bài này hình như là mũ 3

\(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(RHS+\frac{2\left(a+b+c\right)+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Leftrightarrow RHS\ge\frac{3}{4}\) tại a=b=c=1