Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{c}}}\right)\le\frac{1}{\sqrt{abc}}\Sigma_{cyc}\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+2\sqrt{c}}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(a^2+2c^2\right)\left(1+2\right)\ge\left(a+2c^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2c^2}\ge\frac{a+2c}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\frac{a+2c}{\sqrt{3ac}}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3abc}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\frac{ac+2ab}{\sqrt{3abc}}\\\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\ge\frac{bc+2ac}{\sqrt{abc}}\end{cases}}\)
Ta được BĐT:
\(VT\ge\frac{1}{3}.\frac{ab+2abc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{3}.\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{abc}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=3\)
=> đpcm
P/S: Làm tắt vs đoạn này k^o chắc mấy :V
Repair đề \(\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{2a^2+b^2}}{ab}\ge3\sqrt{3}\).Because dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Không use condition của đề bài :))
Ta co:
\(VT=\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}}+\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{b}{c}}}+\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{b}{c}}.\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}}}}=3\sqrt{3}\)
equelity iff \(a=b=c=3\)
Đặt vế trái là P và \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=4\)
Ta cần chứng minh: \(P=\frac{1}{xy+2yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+2zx}+\frac{1}{2xy+yz+zx}\le\frac{1}{xyz}\)
\(P=\frac{1}{xy+yz+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx+zx}+\frac{1}{xy+xy+yz+zx}\)
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)=\frac{1}{4}.\frac{4}{xyz}=\frac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
Ta có: \(\left(a^4-a^3+2\right)-\left(a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Rightarrow a^4-a^3+2\ge a+1\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)
Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\); \(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)(abc = 1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Chú ý: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\) là ok liền:D
Mấy bạn ơi , cho tớ hỏi:
Luật tính điểm hỏi đáp là gì?
Làm thế nào để câu trả lời của mình đứng đầu tiên trong các câu trả lời?
Ai trả lời nhanh mình tích cho.
ta có \(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{1+ab-c^2}.\sqrt{ab+2c^2}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{1+ab-c^2}\sqrt{ab+2c^2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
\(\sqrt{ab+1-c^2}\sqrt{ab+2c^2}\le\frac{1}{2}\left(ab+1-c^2+ab+2c^2\right)=\frac{1}{2}\left(2ab+1+c^2\right)\)
=\(\frac{1}{2}\left(2ab+a^2+b^2+2c^2\right)=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2c^2\right]\le\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) =1
=> \(\frac{ab+2c^2}{...}\ge\frac{ab+2c^2}{1}=2c^2+ab\)
tương tự + vào thì e sẽ ra điều phải chứng minh
Nhà hàng Tôm hùm kính chào quý khách ĐC : 255 Nguyễn Huệ, Q tân bình , TP HCM
Ta có: \(ab+bc+ca+abc=4\)
\(\Leftrightarrow abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)\(=12+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\)\(=\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\Leftrightarrow\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}=2\)
\(\Leftrightarrow3-\left(\frac{2}{a+2}+\frac{2}{b+2}+\frac{2}{c+2}\right)=1\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=1\)
Đặt \(x=\frac{a}{a+2};y=\frac{b}{b+2};z=\frac{c}{c+2}\). Khi đó x + y + z = 1 và \(\frac{1}{x}=\frac{a+2}{a}=1+\frac{2}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}=\frac{y+z}{x}\Rightarrow a=\frac{2x}{y+z}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\frac{2x}{y+z}.\frac{2y}{z+x}}+\sqrt{\frac{2y}{z+x}.\frac{2z}{x+y}}+\sqrt{\frac{2z}{x+y}.\frac{2x}{y+z}}\le3\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\le3\)
Theo BĐT AM - GM, ta có: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}\le\frac{y}{y+z}+\frac{x}{z+x}\)(1)
Tương tự: \(2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}\le\frac{z}{z+x}+\frac{y}{x+y}\)(2) ;\(2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\le\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\)(3)
Cộng theo vế của (1), (2), (3), ta được: \(2\sqrt{\frac{x}{y+z}.\frac{y}{z+x}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}.\frac{z}{x+y}}+2\sqrt{\frac{z}{x+y}.\frac{x}{y+z}}\)\(\le\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{x}{z+x}\right)=3\)
Vậy bài toán được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 1.
Đặt \(a=\frac{1}{x},\text{ }b=\frac{1}{y},\text{ }c=\frac{1}{z}\Rightarrow x+y+z+1=4xyz\Leftrightarrow r=\frac{p+1}{4}\)
Cần chứng minh: \(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\le3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\sqrt{xyz}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+2\Sigma\sqrt{xy}\le9xyz\)
\(\Leftrightarrow4\left(p+2\Sigma\sqrt{xy}\right)\le9\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow8\Sigma\sqrt{xy}\le5p+9\) (1)
Ta có: \(t^2+u^2+v^2+2tuv+1\ge2\left(tu+uv+tv\right)\) (quen thuộc, trên mạng chắc có)
Vì vậy: \(x+y+z+2\sqrt{xyz}+1\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Hay là: \(4\left(p+2\sqrt{xyz}+1\right)\ge8\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta chứng minh: \(4\left(p+2\sqrt{r}+1\right)\le5p+9\)
\(\Leftrightarrow4p+4\sqrt{\left(p+1\right)}+4\le5p+9\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)^2\ge0\). Xong.
Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 ta có :
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)= \(\frac{\sqrt{a^2+b^2+a^2}}{ab}\)>= \(\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b+a\right)^2}{3}}}{ab}\) = \(\frac{2a+b}{\sqrt{3}ab}\) = \(\frac{2}{\sqrt{3}b}+\frac{1}{\sqrt{3}a}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}c}+\frac{1}{\sqrt{3}b}\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}a}+\frac{1}{\sqrt{3}c}\)
=> \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)+ \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)+ \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{3}{\sqrt{3}a}+\frac{3}{\sqrt{3}b}+\frac{3}{\sqrt{3}c}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\).(1/a+1/b+1/c) = \(\sqrt{3}\).(ab+bc+ca)/abc = \(\sqrt{3}\).abc/abc = \(\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3
=> ĐPCM
k mk nha