Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=1\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự:\(b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(P\ge1+\frac{8abc}{8abc}=2\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
:))
ở phần cô si phần cuối là bn sai r
vì >= nhưng ở dưới mẫu nên bị đảo lại thành =< nên bn lm như thế k đúng
đay là link giải https://diendan.hocmai.vn/threads/bdt-a-2-b-2-c-2-dfrac-8abc-a-b-b-c-c-a-geq-2.341255/
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 9\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 9abc\) (do \(abc=1\) )
\(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{9abc}{a+b+c}\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}(**)\)
Giờ ta sẽ chứng minh:
\(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ac)(*)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc\geq 2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a)\)
(đúng theo BĐT Schur bậc 3)
Do đó \((*)\) đúng.
Từ \((**); (*)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)
tương tự \(\frac{\Rightarrow ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2}\le\frac{3}{2}\)
=>Thắng Nguyễn :cm theo cách đó sai
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có hai số cùng phía so với 2, không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab+4\ge2a+2b\)
\(\Leftrightarrow abc+4c\ge2ac+2bc\)
\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-4c+4\)
\(VT\ge2ab+c^2-4c+4+2bc+2ac\)
\(VT\ge2\left(ab+bc+ca\right)+\left(c-2\right)^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)