Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng lại:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c\)
Mặt khác:
\(\frac{9}{a+b+c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\Rightarrow9\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Khi đó:
\(VT\ge a+b+c\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
Từ dk suy ra 1/bc+1/ac+1/ab+1/c+1/b+1/a=6 đặt 1/a=x;1/b=y;1/c=z→x+y+x+xy+yz+xz=6 ta phải cm x2+y2+z2>=3 Ta có:2(x2+y2+z2)>=2(xy+yz+xz) (1) (x-1)2>=0→x2>=2x-1 Tương tự :y2>=2y-1;z2>=2z-1 do đó :x2+y2+z2>=2(x+y+z)-3 (2) cộng vế 1 vs 2 ta có:3(x2+y2+z2)>=2(x+y+z+xy+yz+xz)-3 <=>3(x2+y2+z2)>=2.6-3 <=>x2+y2+z2>=3
Ta có:
\(\frac{1}{1-ab}=1+\frac{ab}{1-ab}\le1+\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(=1+\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}\le1+\frac{ab}{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)
\(\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1-bc}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3)
\(\Rightarrow\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\le3+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\right)\)
\(=3+\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{9}{2}\)
\(P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\) ; \(Q=\frac{1}{2}\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{1}{2}ab\)
Tương tự và cộng lại: \(P\ge a+b+c-Q\Rightarrow P+Q\ge a+b+c\)
Mặt khác \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\ge\frac{9}{3}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)