K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 8 2020

Ta có BĐT sau:

\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a\)

Sử dụng AM - GM ta dễ có được:

\(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)

\(b^3+bc^2\ge2\sqrt{b^4c^2}=2b^2c\)

\(c^3+c^2a\ge2\sqrt{c^4a^2}=2c^2a\)

\(\Rightarrow BĐT\) đầu tiên đúng

Khi đó ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\Rightarrow P\ge a^2b+b^2c+c^2a+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Một vài đánh giá cơ bản rồi đặt ẩn phụ rồi xét đạo hàm phát ra nhé

1 tháng 8 2020

@huybip5cc, bn giải kĩ ra giúp mk nhé, mk dốt lắm, nhìn vậy ko hiểu đâu ạ, mơn nh!

8 tháng 1 2021

Hi vọng là tìm GTLN:

Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le3\).

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

8 tháng 1 2021

đề là tìm GTNN ạ, dù gì cũng cảm ơn bạn nha <3

23 tháng 12 2017

Ta có : \(p=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4ab}}=\frac{1}{a}\)

\(\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4ac}\ge4\sqrt{\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}.\frac{a+c}{4ac}}=\frac{1}{b}\)

\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}.\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)

Cộng vế với vế ta được \(p+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow p+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow p\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{2a.2b.2c}}=\frac{3}{\sqrt[3]{8abc}}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

19 tháng 8 2020

Xét: \(\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\frac{bc}{a\cdot abc\cdot\frac{1}{c}+a\cdot abc\cdot\frac{1}{b}}=\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)(*)

Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{ca}{b^2c+ab^2}=\frac{c^2a^2}{ab+bc}\\\frac{ab}{c^2a+bc^2}=\frac{a^2b^2}{ca+bc}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)

Ta thấy\(\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\) có dạng: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

Bước cuối Cô-si ba số và kết hợp điều kiện abc=1 là xong

8 tháng 2 2023

Theo đề ra, ta có:

\(a^2+b^2+c^2\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Theo BĐT Cô-si:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)

Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)

Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)

Khi đấy:

\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)

\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).

17 tháng 10 2020

1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)

Áp dụng Cauchy ta được:

\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)

\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)

\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)

\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)

\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)

\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)

\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)

\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)

\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)

\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)

\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)

\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)

\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)

15 tháng 5 2018

Ta có: \(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\) 

\(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+\left(a+b+c\right)b}}\) 

\(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\) 

\(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)}.\frac{ab}{\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{b+a}.\frac{bc}{c+a}}+\sqrt{\frac{ca}{c+b}.\frac{ca}{a+b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}\right)=\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=1\)

Vậy Max P=1 khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

15 tháng 5 2018

\(P=\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\Sigma\dfrac{\sqrt{ab}.\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}.\Sigma\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\) \(=\dfrac{1}{2}.\left(a+b+c\right)=1\) 

28 tháng 4 2017

P=abc/(2bc+c^2)+abc/(2ac+a^2)+abc/(2ab+b^2)

P=1/(2bc+c^2)+1/(2ac+a^2)+1/(2ab+b^2)

áp dụng BĐT cô-si swat ta có 

P>=(1+1+1)^2/(a+b+c^2)=9/(a+b+c)^2>=9/((3 căn bậc 3 abc)^2=9/9=1 

dấu = xảy ra khi a=b=c=1 

29 tháng 4 2017

Huy Nguyễn Đức ngược dấu r