Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Xét hiệu: $a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+bc+ac)}{2}=\frac{(a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac)}{2}=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac(1)$
Lại có:
Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
$a< b+c$
$\Rightarrow a^2< a(b+c)$
Tương tự: $b^2< b(a+c); c^2< c(a+b)$
Cộng theo vế các BĐT trên: $a^2+b^2+c^2< a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2(ab+bc+ac)(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm.
Vì a:b:c là độ dài cạnh tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)(1)
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{a+b-c+c+a-b}{2}=\frac{2a}{2}=a\)(2)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{b+c-a+c+a-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\)(3)
Nhân vế với vế của (1); (2);(3) lại ta được :
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2}\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)
Cần chứng minh \(3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Ta có: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\)
Tương tự nhân theo vế ta có DPCM
Diện tích hình vuông cạnh c là \(S=c^2\)
Tổng diện tích hai hình chữ nhật là \(S_1=2ab\)
Xét tg vuông có \(c^2=a^2+b^2\)
Áp dụng cosi có
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\frac{a^2+b^2+2ab}{4}\ge ab\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
\(\Rightarrow S\ge S_1\left(dpcm\right)\)
\(S=S_1\) Khi a=b => tg ban đầu phải là tg vuông cân
cau h cho minh di nhe
cua minh co chu chip chip day