Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{ab.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)
CMTT: \(VT\ge2.\left(a+b+c-\frac{a+b+c+ab+cb+ca}{4}\right)\)
Ta lại có \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)
=> \(ab+bc+ca\le a+b+c\)
=> \(VT\ge2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=a+b+c\left(dpcm\right)\)
Dấu bằng khi a=b=c=1
Mình có một cách khác. Các bạn xem nhé!
Đặt a = b = c . Ta có:
\(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}=3\left(\frac{2a^2}{a^3}\right)\ge a^3\)(Do a = b = c nên ta thế a,b,c = a)
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2}{a^3}+\frac{2b^2}{b^3}+\frac{2c^2}{c^3}=\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2.b^2.c^2\right):\left(a+b+c\right)}=\frac{6}{2}=3\)
\(\Rightarrow\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}>a+b+c^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi a =b = c = 1
đặt:
\(S=\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}=\frac{a^3}{a+b+c+d}+\frac{b^3}{a+b+c+d}+\frac{c^3}{a+b+c+d}+\frac{d^3}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a^4}{a^2+ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc+bd}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2+cd}+\frac{d^4}{ad+bd+cd+d^2}\)
áp dụng bất đẳng thức schwarts ta có:
\(S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
áp dụng bất đẳng thức bunhicốpski ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}}{4}=\frac{4.1}{4}=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge a+b+c+d\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1
bạn chia a^2 cho ca tu và mẫu . từ giả thiết ta có : 3abc >= ab +bc+ ca . suy ra : 1/a + 1/b +1/c<=3 . sau khi chia ở A : ta có si ở mẫu . rồi áp dụng cô si ngc la ra . ban nao ko hieu thi nhan voi minh
Áp dụng bất đẳng thức : \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(Có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)
được: \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)(1)
Thay \(a+b=2-c\)và \(a^2+b^2=2-c^2\)vào (1) được:
\(2\left(2-c^2\right)\ge\left(2-c\right)^2\Leftrightarrow4-2c^2\ge4-4c+c^2\Leftrightarrow3c^2-4c\le0\)
Giải ra được \(0\le c\le\frac{4}{3}\)
Tương tự với a,b ta suy ra được điều phải chứng minh.
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Theo AM-GM có
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) thì
\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
từ GT suy ra abc >=1 và a/bc + b/ca + c/ab = 3.
áp dụng BĐT Cauchy : a4 + bc >=2a2v(bc) (v(bc) là căn bc).
nên a2/a4 + bc <=1/2v(bc).
do đó M <= 1/2.(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab).
ta chứng minh N = (1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <=3 là xong.
thật vậy.
giả sử a <=b<=c nên 1/v(bc) <= 1/v(ca)<= 1/v(ab).
áp dụng BĐT Trê bư sep ta được (v(a) + v(b) + v(c))/3 . ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= (v(a)/v(bc) + v(b)/v(ca) + v(c)/v(ab)/3.
ta có v(a) + v(b) + v(c) >=3 căn6(abc)>=3.
nên VT >=((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3. (1)
lại có (x + y + z)2 <=3(x2 + y2 + z2) nên (VP)2 <= (a/bc + b/ca + c/ab)/3= 1.
hay VP <= 1 (2).
từ (1) và (2) suy ra ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= 1 hay
(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <= 3
tức N <= 3 (đpcm).
(mình chưa biết đánh nên cố đọc nhé!)
Đoàn Đức Hiếu , Nguyễn Huy Tú , Ace Legona
đề có sai k tía (==") phải là a + b + c + abc chứ (-_-)