Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT 1 sai ngay với \(a=\sqrt{0,1},b=\sqrt{0,2},c=\sqrt{2,7}\)
BĐT 2 tương đương với đi chứng minh \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq 3a^2b^2c^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2\)
Tương tự \(b^4c^4+c^4a^4\geq 2b^2c^4a^2,a^4b^4+c^4a^4\geq 2a^4b^2c^2\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2\)
Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
thì ra cái đầu sai nghĩ mãi ko ra, đại ca thông minh thật :v
Câu 1 cần bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác, tức là đảm bảo mẫu các phân thức vế trái luôn dương.
Nếu không, BĐT sai trong TH $(a,b,c)=(3,2,10)$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^4}{ab+ac-a^2}+\frac{b^4}{bc+ba-b^2}+\frac{c^4}{ac+bc-c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+ac-a^2+bc+ba-b^2+ca+cb-c^2}\)
\(=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(1)\)
Mà theo BĐT AM-GM ta thấy: $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)\leq a^2+b^2+c^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Câu 2)
Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)
Ta có \(a+b=1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)
Ta có \(a+b=1\)
\(\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)\)
\(\Rightarrow9\ge4ab+8\)
\(\Rightarrow1\ge4ab\)
Do \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đpcm )
Câu 3)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Mà \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (điều này luôn luôn đúng)
\(\Rightarrow\) ĐPCM
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$4abc+4abc+\frac{1}{8a^2}+\frac{1}{8b^2}+\frac{1}{8c^2}\geq 5\sqrt[5]{\frac{1}{32}}=\frac{5}{2}(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
$\frac{7}{8}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq \frac{7}{8}.\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{7}{8}.\frac{9}{\frac{3}{4}}=\frac{21}{2}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq 13$
Vậy $P_{\min}=13$ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow c^3+\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ca-3bc-3ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ca-bc-ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
Mà a, b ,c đôi một khác nhau nên \(a+b+c=0\)
Khi đó \(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=\frac{1}{a^2+b^2-\left(-a-b\right)^2}=-\frac{1}{2ab}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}=-\frac{1}{2bc};\frac{1}{c^2+a^2-b^2}=-\frac{1}{2ca}\)
\(\Rightarrow A=-\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}\right)=-\frac{a+b+c}{2abc}=0\)