BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:a) ∆ABE = ∆ADC b) Góc BMC = 120oBài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).a) Chứng minh: EM + HC = NH.b) Chứng minh: EN // FM.Bài 3:Cho...
Đọc tiếp
BÀI 1: Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) ∆ABE = ∆ADC b) Góc BMC = 120o
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
Bài 3:Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2.
Chứng minh rằng : Góc PCQ = 45o
Bài 4:Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE.
b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các ∆MAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.
Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Từ D hạ DH vuông góc với AB
Từ E hạ EK vuông góc với AC
A B C M D E H K
+) Có: ∆ABD vuông cân tại D => DH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác
=> DH = HA = HB
Tương tự => EK = KA = KC
+) Xét ∆ABC có:
M là trung điểm BC (gt)
H là trung điểm AB (cách vẽ)
=> MH là đường trung bình của tam giác ABC
=> MH // AC và MH = 1/2 AC
=> MH = KA = KC = KE
Tương tự => KM // AB và KM = HA = HB = HD
+) Có: MH // AC (cmt) => góc BHM = góc ABC
Tương tự => góc CKM = góc ABC
=> góc BHM = góc CKM
=> góc BHM + 90º = góc CKM + 90º
=> góc BHM + góc DHB = góc CKM + góc EKC
=> góc DHM = góc MKE
+) Xét ∆DHM và ∆MKE có:
HD = MK (cmt)
góc DHM = góc MKE (cmt)
MH = EK (cmt)
=> ∆DHM = ∆MKE (c - g - c)
=> MD = ME (1) và góc HDM = góc KME
=> góc HDM + góc HMD = góc KME + góc HMD
Vì KM // AB (cmt) => góc BHM = góc HMK (slt)
=> góc HDM + góc HMD + góc BHM = góc KME + góc HMD + góc HMK
=> 180º - góc DHB = góc DME
=> góc DME = 180º - 90º = 90º (2)
Từ (1) và (2) => ∆DME vuông cân tại M (đpcm)