PD
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
Cho a, b,c la cac so thuoc doan \(\left[-1;2\right]\) thoa man \(a^2+b^2+c^2=6\). CMR: \(a+b+c\ge0\)
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 1 2019
Do \(-1\le a\le2\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2-a-2\le0\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}b^2-b-2\le0\\c^2-c-2\le0\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế ta được:
\(a^2+b^2+c^2-\left(a+b+c\right)-6\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a+b+c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-1\\c=-1\end{matrix}\right.\) và các hoán vị
PP
12 tháng 8 2017
Đặt a+1=x; b+1=y; c+1=z; đề bài trở thành ''Cho x,y,z\(\in\left(0;3\right)\)thỏa mãn x+y+z=3 cm \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le6\)''
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương : \(x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+3\le6\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3+2\left(x+y+z\right)=9\)(1) mà \(x+y+z=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+zx\right)\)vậy (1)\(\Leftrightarrow9-2\left(xy+yz+xz\right)\le9\Leftrightarrow-2\left(xy+yz+xz\right)\le0\)(2) mà x,y,z thuộc (0;3) => (2) đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên ta suy ra đpcm
17 tháng 12 2019
Anh Phương vào link này tham khảo nhé :
Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
17 tháng 12 2019
Nhớ không nhầm mọi khi đi thi cho đoạn kiểu này và có dấu ''='' ví dụ như :
\(-1\le a,b,c\le2\) thì không cần não nghĩ ngay đến \(a+1,a-2\) (tương tự với b,c)
Trong TH không có dạng cơ bản để áp dụng BĐT thông thường.
RD
14 tháng 11 2018
\(a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-a^2-b^2-c^2+6\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a-2\right)+\left(b^2-b-2\right)+\left(c^2-c-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+1\right)+\left(b-2\right)\left(b+1\right)+\left(c-2\right)\left(c+1\right)\le0\)(1)
Mà a,b,cE[-1;2]=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-2;b-2;c-2\le0\\a+1;b+1;c+1\ge0\end{matrix}\right.\)
=>(1) đúng =>đpcm
31 tháng 8 2017
B2:Áp dụng cô si ta có:\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\left(1\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)suy ra BĐT tương đương với \(a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}\ge\frac{17}{2}\)
Ta có \(a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{a^2b^2}\)Mà \(ab\le\frac{1}{4}\)
Nên \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)^2-2ab=1-2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\left(2\right)\\\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{a^2b^2}\ge\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=8\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng \(\left(2\right)vs\left(3\right)\)lại ta thu được \(đpcm\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Do \(a,b,c\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Rightarrow a^2\le a+2\)
Tương tự:
\(b^2\le b+2;c^2\le c+2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge0\) vì \(a^2+b^2+c^2=6\)
Trình bày khác Cool Kid xíu!
\(a+b+c=\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(2-a\right)+\Sigma_{cyc}\left(a^2-2\right)\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(a+1\right)\left(2-a\right)\ge0\) vì \(a,b,c\in\left[-1;2\right]\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;-1;2\right)\) và các hoán vị.