K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 12 2019

Ta có:\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(\ge\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}=1\)

và  \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(\le\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+d}+\frac{c}{c+a}+\frac{d}{d+b}\)

\(=1+1=2\)

Vậy \(1\le\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\le2\)(đpcm)

NV
13 tháng 5 2019

\(P=\left(b+c+d\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)=1+\frac{b}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{b}+1+\frac{c}{d}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}+1\)

\(=3+\frac{b}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}\)

Mặt khác do \(b\le c\le d\Rightarrow\left(d-c\right)\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow cd-bd-c^2+bc\ge0\Leftrightarrow bc+cd\ge c^2+bd\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc+cd}{cd}\ge\frac{c^2+bd}{cd}\Leftrightarrow\frac{b}{d}+1\ge\frac{c}{d}+\frac{b}{c}\)

\(\frac{bc+cd}{bc}\ge\frac{c^2+bd}{bc}\Leftrightarrow\frac{d}{b}+1\ge\frac{c}{b}+\frac{d}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{d}+\frac{d}{b}+2\ge\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{b}{d}+\frac{d}{b}\right)+2\ge\frac{b}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}=P\)

\(a\le b\le d\le2a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2}\le\frac{b}{d}\le1\\1\le\frac{d}{b}\le2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\frac{b}{d}-1\right)\left(\frac{d}{b}-2\right)\ge0\Leftrightarrow1-2\frac{b}{d}-\frac{d}{b}+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{d}+\frac{d}{b}\le3-\frac{b}{d}\le3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow P\le2.\frac{5}{2}+2=7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=c=a\\d=2a\end{matrix}\right.\)

3 tháng 6 2019

Cảm ơn ạ

7 tháng 9 2019

Làm bài này một hồi chắc bay não:v

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.

Bài 2:

a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v

b) Theo BĐT Bunhicopxki:

\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)

Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:

\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)

7 tháng 9 2019

Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?

24 tháng 11 2019

Bài 1:

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.

Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!

24 tháng 11 2019

Bài 2a làm bên h rồi nên chụp lại thôi!

 (cần thì ib t gửi link cho)

8 tháng 4 2016

ngu nguoi

8 tháng 4 2016

ngu nguoi

NV
16 tháng 3 2019

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

20 tháng 2 2018

a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có: 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

b)sai đề

24 tháng 3 2020

Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\)

\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\)

\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{b+d+a}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\)

Cộng vế với vế (3);(4);(5);(6) ta có:

\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\left(đpcm\right)\)

TL
24 tháng 3 2020

Đặt A = a/a+b+c + b/b+c+d + c/c+d+a + d/d+a+b

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d+a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d = 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+m/b+m (a;b;m > 0) ta có:

A < a+d/a+b+c+d + a+b/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + c+d/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2

Từ (1) và (2) => đpcm

nguồn:soyeon_Tiểubàng giải

13 tháng 4 2020

Do \(a\ge1,d\le50\left(and\right)c>b\left(c,b\in N\right)nên\left(c\ge b+1\right)\)thành thử

\(S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b+1}{50}=\frac{b^2+b+50}{50b}\)

zậy BĐT của đề ra đc CM 

dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\d=50\\c=b+1\end{cases}.}\)

ĐỂ tìm minS ta đặt

\(\frac{b^2+b+50}{50b}=\frac{b}{50}+\frac{1}{b}+\frac{1}{50}\)zà xét hàm số có biến số liên tục x 

\(f\left(x\right)=\frac{x}{50}+\frac{1}{x}+\frac{1}{50}\left(2\le x\le48\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{1}{50}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-50}{50x^2};f'\left(x\right)=0\hept{\begin{cases}x^2=50\\2\le x\le48\end{cases}\Leftrightarrow x=5\sqrt{2}}\)

Ta có bảng biến thiên 

x     2         \(5\sqrt{2}\)  48
f'(x)     -          0      +
f(x)\(\rightarrow\)minf(x )     )\(\rightarrow\)

chuyển zế biểu thức 

\(f\left(b\right)=\frac{b^2+b+50}{50b}\left(2\le b\le48,b\in N\right)\)

từ BBT suy ra b biến thiên từ 2 đến 7 , f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên  từ 8 đến 48 . suy ra minf(b) = min[f(7) ;f(8)]

ta có 

\(\hept{\begin{cases}f\left(7\right)=\frac{49+57}{350}=\frac{53}{175}\\f\left(8\right)=\frac{64+58}{400}=\frac{61}{200}>\frac{53}{175}\end{cases}}\)

zậy min S = 53/175 khi a=1 , b=7 , c=8 , d=50\

nguồn đại học học 2002 dự bị 5

DD
31 tháng 5 2021

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\).

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+c}{c+a}=1\)

\(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=\frac{b+d}{d+b}=1\)

Suy ra đpcm.