Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a;b;c >0. CMR:
a4+b4+c4>=\((\dfrac{a+3b}{4})^4\)+\((\dfrac{b+3c}{4})^4\)+\((\dfrac{c+3a}{4})^4\)
Sử dụng Cô si cho 2 số dương ta được
\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}=a^3\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge2a^3ca3b+ba3c=a3(cb+bc)≥2a3
Làm tương tự với hai cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3c}{a}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}+\dfrac{c^3a}{b}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)ca3b+ba3c+ab3c+cb3a+ac3b+bc3a≥2(a3+b3+c3) (1)
Lại theo bất đẳng thức Cô si ta được
a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abca3+b3+c3≥33a3b3c3=3abc (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Theo bất đẳng thức cô si ta có
\(\dfrac{a^3b}{c}\) + \(\dfrac{a^3c}{b}\) = a^3(b/c+c/b) ≥ 2a^3
Tương tự với 1 cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
a^3b/c+ a^3c/b + b^3c/a+b^3a/c + c^3b/a+ c^3a/b ≥ 2(a^3+b^3+c^3) (1)
Theo bất đẳng thức cô si ta được
a^3 + b^3 +c^3 ≥ 3\(\sqrt{a^3b^3c^3}=3abc (2) \)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
b) \(\dfrac{1}{3a+2b+c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự cho 2 cái kia rồi cộng lại
\(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}.16=\dfrac{8}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) ... \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{3}{16}\)
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM:
\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)
\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)
\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)
Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)
Mà \(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)
hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) đúng
Ta có đpcm.
Sửa đề: Cho thêm a,b,c dương
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+2b^2+3c^2\ge6\sqrt[6]{a^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot c^2\cdot c^2\cdot c^2}=6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\)
\(\Rightarrow3abc\ge6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\Leftrightarrow abc\ge2\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\)
\(\Leftrightarrow a^6b^6c^6\ge64a^2b^4c^6\Leftrightarrow a^4b^2\ge64\Leftrightarrow a^2b\ge8\)
\(\Rightarrow2\le\sqrt[3]{a\cdot a\cdot b}\le\dfrac{2a+b}{3}\Leftrightarrow2a+b\ge6\)
Khi đó ta có: \(P=2a+\dfrac{8}{a}+\dfrac{3b}{2}+\dfrac{6}{b}+c+\dfrac{4}{c}+\dfrac{2a+b}{2}\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2\sqrt{2a\cdot\dfrac{8}{a}}+2\sqrt{\dfrac{3b}{2}\cdot\dfrac{6}{b}}+2\sqrt{c\cdot\dfrac{4}{c}}+\dfrac{6}{2}\left(2a+b\ge6\right)\)
\(=2\sqrt{16}+2\sqrt{9}+2\sqrt{4}+3=8+6+4+3=21\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Người ta bảo tính giá trị của biểu thức chứ có bảo tìm cực trị của nó đâu.
Ta cần chứng minh nếu a,b,c đôi một khác nhau và a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0
Ta có: a3+b3+c3=3abc
<=> a3+b3+c3-3abc=0
<=> (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=0
<=> (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab-ca-bc)-3ab(a+b+c)=0
<=> (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
\(=>\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
• a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
<=> 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
<=> (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0=> a=b=c
Mà a,b,c đôi một khác nhau nên vô lí
Do vậy nên a+b+c=0
Áp dụng bài toán chứng minh trên vào a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 ta có ab+bc+ca=0
\(=>\hept{\begin{cases}bc+ca=-ab\\ca+ab=-bc\\ab+bc=-ac\end{cases}=>\hept{\begin{cases}c\left(a+b\right)=-ab\\a\left(b+c\right)=-bc\\b\left(c+a\right)=-ac\end{cases}}}\)
Với a,b,c khác 0 ta có
\(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{c\left(a+b\right)}{bc}.\frac{a\left(b+c\right)}{ca}.\frac{b\left(c+a\right)}{ab}=\frac{-ab}{bc}.\frac{-bc}{ca}.\frac{-ca}{ab}=-1\)
Vậy A=-1
\(P=\dfrac{a}{4-3a}+\dfrac{b}{4-3b}+\dfrac{c}{4-3c}=\dfrac{a^2}{4a-3a^2}+\dfrac{b^2}{4b-3b^2}+\dfrac{c^2}{4c-3c^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(=\dfrac{1}{4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Ta có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le4-\left(a+b+c\right)^2=4-1=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Casch2:đặt \(\left\{{}\begin{matrix}4-3a=x\\4-3b=y\\4-3c=z\end{matrix}\right.\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4-x}{3}\\b=\dfrac{4-y}{3}\\c=\dfrac{4-z}{3}\end{matrix}\right.\)\(x+y+z=9\)
\(=>P=\dfrac{4-x}{3x}+\dfrac{4-y}{3y}+\dfrac{4-z}{3z}=\dfrac{4}{3x}+\dfrac{4}{3y}+\dfrac{4}{3z}-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)\)
\(=\dfrac{\left(2+2+2\right)^2}{3.9}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3}\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=3<=>a=b=c=1/3