KN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TH
2
KT
21 tháng 8 2018
\(ab+bc+ca=0\)
=> \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\)\(\frac{1}{b}=y;\)\(\frac{1}{c}=z\)
Ta có: \(x+y+z=0\)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) (tự c/m, ko c/m đc ib)
hay \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
\(B=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc.\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc.\frac{3}{abc}=3\)
HH
1
26 tháng 3 2018
Do a+b+c= 0
<=> a+b= -c
=> (a+b)2= c2
Tương tự: (c+a)2= b2, (c+b)2= a2
Ta có: \(A=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\)
\(=\frac{1}{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{c^2+a^2-\left(c+a\right)^2}+\frac{1}{a^2+b^2-\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ca}+\frac{1}{-2ab}\)
\(=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
K
1
27 tháng 11 2023
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
=>ab+bc+ac=0
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)
=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)
=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)
=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)
=>0=0(đúng)
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
11 tháng 12 2020
1/a+1/b+1/c=0
=>(ab+ac+bc)/abc=0
=> ab+ac+bc=0
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=0
=> a^2+b^2+c^2=0
Bạn xem lại đề nhé.
CM
11 tháng 11 2019
Ta có:
0 < a < 1 ⇒ a - 1 < 0 ⇒ a(a - 1) < 0 ⇒ a2 - a < 0 (1)
Tương tự:
0 < b < 1 ⇒ b2 - b < 0 (2)
0 < c < 1 ⇒ c2 - c < 0 (3)
Cộng (1); (2); (3) vế theo vế ta được:
a2 + b2 + c2 - a - b - c < 0
⇔ a2 + b2 + c2 < a + b + c
⇔ a2+ b2 + c2 < 2 (do a + b + c = 2)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2023
Ta chứng minh BĐT sau:
\(\dfrac{1}{x^3+x+2}\ge\dfrac{-x^2+3}{8}\) với \(x>0\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(x^2-3\right)\left(x^3+x+2\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3+2x^2+x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{-a^2+3}{8}+\dfrac{-b^2+3}{8}+\dfrac{-c^2+3}{8}=\dfrac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{8}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Sai đề rồi nha bạn!
Đề: Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.\) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
Lời giải:
Với mọi \(a,b,c\in R\) thì ta luôn có:
\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\) \(\left(\text{*}\right)\)
Ta cần chứng minh \(\left(\text{*}\right)\) là bất đẳng thức đúng!
Thật vậy, từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\) \(\left(\text{**}\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(\text{**}\right)\) hiển nhiên đúng với mọi \(a,b,c\) , mà các phép biến đổi trên tương đương
Do đó, bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a+b=c\)
Mặt khác, \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) (theo giả thiết)
Mà \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}<2\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2<2\) \(\left(\text{***}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) kết hợp với \(\left(\text{***}\right)\), ta có thể viết 'kép' lại: \(2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2<2\)
Suy ra \(2bc+2ca-2ab<2\)
Khi đó, vì \(abc>0\) (do \(a,b,c\) không âm) nên chia cả hai vế của bất đẳng trên cho \(2abc\), ta được:
\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}<\frac{2}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)
Vậy, với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\) thì ta luôn chứng minh được:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}\)