Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt Bunhia-cốp-xki ở dạng phân thức, ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{9}{2}\)( vì a+b+c=1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{c+a}\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)(vì a+b+c=1)
Ta có: \(a,b,c>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+a+b+c}=\frac{3^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.1}=\frac{9}{2}\)
đpcm
Tham khảo nhé~
kudo shinichi nêú dùng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số thì sao bn
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
câu này ở trong câu trả lời cảu tớ ấy vào phần hỏi đáp bạn tìm câu hỏi của tớ
đề câu 78
\(\sqrt{x\left(x+2\right)}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{\left(x+1\right)\left(3x+1\right)}\)
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
theo bất dẳng thức cô-si ta có:
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\)(a>0,b>0,c>0)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\)(1)
\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)(a>0,b>0,c>0)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
\(\left(a+b+c\right)\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\cdot3\cdot\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\left(\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (đpcm)
(chúc bạn học tốt
)
thank you